Integrale definito

la primitiva di $tanx$ è $-ln|cosx|+c$ 

quindi il tutto sta nel calcolare

$-2(log(cos(\pi/3))-log(cos(\pi/6)))$

$-2(log(1/2)-log(\sqrt{3}/2))$

$-2log(\frac{1/2}{\sqrt{3}/2})$

$-2log(\frac{1}{\sqrt{3}})$

che è il risultato riportato nel libro

Ripassino
La funzione
* f(x) = tg(x)
ha la famiglia di primitive
* F(x) = ∫ f(x)*dx = - ln(cos(x)) + c
logaritmo che è indefinito là dove cos(x) = 0, complesso dove cos(x) < 0, reale dove cos(x) > 0.
Dalle primitive (≡ integrale indefinito, brutto!) si calcola l'integrale (≡ integrale definito, bruttissimo!)
* I(f, a, b) = F(b) - F(a) = - ln(cos(b)) - (- ln(cos(a))) =
= ln(cos(a)/cos(b))
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Esercizio
* ∫ [x = π/6, π/3] (2*tg(x))*dx =
= 2*∫ [x = π/6, π/3] tg(x)*dx =
= 2*I(f, π/6, π/3) =
= 2*ln(cos(π/6)/cos(π/3)) = 2*ln((√3/2)/(1/2)) = 2*ln(√3) ~= 1.0986
che è proprio il risultato atteso (però espresso un po' meglio!). Tu hai sbagliato il segno, chissà come.