integrale

Problema:

Dire se il seguente integrale diverge o meno:

$\lim_{x \to +\infty} \int_x^{x+1} \sin t^2 dt$

Soluzione:

È noto che $|\sin t^2 |≤1$, quindi si ha che $\sin t^2 ≥-1$. Per l'isotonia dell'operatore integrale vale che

$\int_x^{x+1} \sin t^2 dt≥ \int_x^{x+1}-dt=-t]_x^{x+1}=-x-1+x=-1$; ciò non aggiunge alcuna informazione se non che l'integrale è sicuramente maggiore di $-1$.

Si considera quindi $\int_x^{x+1} \sin t^2 dt≤\int_x^{x+1} dt=t]^{x+1}_x=x+1-x=1$.

Vale che $|\int_x^{x+1} \sin t^2 dt|≤1$, quindi il valore dell'integrale è limitato. A causa del comportamento oscillatorio della funzione considerata ciò non basta a definirne la convergenza. 

Per studiare meglio la funzione si può considerare solamente l'intervallo $x>0$ a causa della condizione posta dal limite, inoltre tramite l'integrazione per parti si può osservare che 

$|\int_x^{x+1} \sin t^2 dt|≤ |\frac{1}{2t}\cos(t^2)]_x^{x+1} |+\frac12\int_x^{x+1}\frac{1}{t^2}dt\le\frac12(\frac1x+\frac1{x+1})+\frac12(\frac{1}{x}-\frac1{x+1})=\frac1x.$

Portando al limite si ha che $0≤\lim_{x \to +\infty} |\int_x^{x+1} \sin t^2 dt|≤\lim_{x \to +\infty}\int_x^{x+1} |\sin t^2| dt≤\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x} \to 0$

Si ha quindi la convergenza assoluta che implica la puntuale.