Integrale

questo è facile:

$\int 4xe^{2x} \,dx=4\int xe^{2x} \,dx$

$g'(x)=e^{2x}$

$f(x)=x$

e quindi

$g(x)=\frac{1}{2}e^{2x}$

$f'(x)=1$

pertanto:

$4\int xe^{2x} \,dx=4( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2x} \,dx)=2xe^{2x}-2\int e^{2x} \,dx =2xe^{2x}-e^{2x}+c=(2x-1)e^{2x}+c$

dato che hai posto svariati esericizi sulla formula di integrazione per parti, immagino che tu non la sappia applicare e magari non l'hai neppure capita. Il tuo prof. (o la tua prof.) ti ha spiegato che la formula di integrazione per parti altro non è che la formula di derivazione del prodotto di due funzioni riadattata allo scopo? ti ha fatto osservare che, quando hai il prodotto di due funzioni $f(x)*g(x)$ e vuoi farne la derivata prima:

$(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+g'(x)*f(x)$

ma se ora calcoli l'integrale da entrabi i lati ottieni:

$\int (f(x)*g(x))' \,dx =\int f'(x)*g(x) \,dx +\int f(x)*g'(x) \,dx$

adesso al primo membro hai deu operazioni che si annullano a vicenda (derivi e integri) quindi:

$f(x)*g(x)=\int f'(x)*g(x) \,dx +\int f(x)*g'(x) \,dx$

adesso isoli uno dei due termini a seccondo membro e ti esce fuori la formula di integrazione per parti:

$\int f(x)*g'(x) \,dx =f(x)*g(x) - \int f'(x)*g(x) \,dx$