[Risolto] Integrale

y = - 2·x^2 - 3·x + 2----> y = (x + 2)·(1 - 2·x)

zeri della parabola: (x + 2)·(1 - 2·x) = 0

x = 1/2 ∨ x = -2

Quindi determino integrale:

∫(- 2·x^2 - 3·x + 2)dx = - 2·x^3/3 - 3·x^2/2 + 2·x

e lo valuto tra xA=-2 ed xB=0

xB = 0: - 2·0^3/3 - 3·0^2/2 + 2·0 = 0

xA = -2: - 2·(-2)^3/3 - 3·(-2)^2/2 + 2·(-2)= - 14/3

Quindi facendo la differenza: 0 - (- 14/3) = 14/3

Oppure, senza tirare in ballo gli integrali, attraverso la formula del segmento parabolico:

1/6·ABS(a)·(xB - xA)^3 = 1/6·ABS(-2)·(0 - (-2))^3 = 8/3

a cui devi aggiungere l'area del triangolo rettangolo sottostante:

1/2·2·2 = 2

quindi:

2 + 8/3 = 14/3

"∫ -2 1/2 -2x^2-3x+2 dx ?" Ma no! Come t'ho scritto ieri, non servono gl'integrali per le bagattelle.
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La parabola
* Γ ≡ y = - 2*x^2 - 3*x + 2
interseca gli assi in
* (x*y = 0) & (y = - 2*x^2 - 3*x + 2) ≡
≡ A(- 2, 0), B(0, 2), C(1/2, 0)
L'area S richiesta è la somma fra quelle del triangolo AOB (St = 2*2/2 = 2) e del segmento parabolico delimitato dalla corda AB (Sp = (|a|/6)*(xB - xA)^3 = (|- 2|/6)*(0 - (- 2))^3 = 8/3)
* S = St + Sp = 2 + 8/3 = 14/3
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Non posso far altro che replicare la nota di ieri.
La tua domanda chiede soltanto "Calcola la misura dell'area ...", e te l'ho mostrato usando la solita equazione dell'area del segmento parabolico non retto. In nessun punto dello svolgimento si presenta la necessità d'integrare checchessia.
Comunque, volendo ad ogni costo integrare qualcosa, si può procedere come segue.
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1) Definire come funzione integranda la lunghezza del segmento parallelo all'asse y e con estremi su Γ e sull'asse x.
* f(x) = - 2*x^2 - 3*x + 2
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2) Calcolare le primitive dell'integranda e il suo integrale definito fra due estremi.
* F(x) = ∫ f(x)*dx = ∫ (- 2*x^2 - 3*x + 2)*dx = - (2/3)*x*(x^2 + 9*x/4 - 3) + c
* I(f, a, b) = F(b) - F(a) =
= (- (2/3)*b*(b^2 + 9*b/4 - 3)) - (- (2/3)*a*(a^2 + 9*a/4 - 3)) =
= (4*(a^3 - b^3) + 9*(a^2 - b^2) - 12*(a - b))/6
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3) Calcolare l'integrale definito fra xA e xB.
* I(f, - 2, 0) = (4*((- 2)^3 - 0^3) + 9*((- 2)^2 - 0^2) - 12*((- 2) - 0))/6 = 14/3