[Risolto] Integrale

 7 / [x * (1 + x^2)]; dobbiamo decomporre la funzione integranda in modo da avere una somma al numeratore:

[A / x ]+ [(Bx + C) / (1 + x^2)]  =  7 / [x * (1 + x^2)];

numeratore:

A (1 + x^2) + B x^2 + Cx = 7;

Ax^2  + Bx^2 + Cx +  A = 7;

Ax^2  + Bx^2 + Cx = 0; non ci devono essere termini in x;

(A + B)x^2 = 0;

A + B = 0;

Cx = 0; C = 0;

A = 7;

7 + B = 0;

B = - 7, 

 7 / [x * (1 + x^2)] = 7/x - 7x / (x^2 + 1);

 ∫ [7/x] dx -  ∫[7x / (x^2 + 1)] dx, calcolato tra 1 e  2 *  β = 4;

7  ∫ [1/x] dx - 7/2 ∫[2x / (x^2 + 1)] dx, calcolato tra 1 e  2 *  β = 4;

[7 ln(x) ] - [7/2 * ln (x^2  + 1)] dx ;  calcolato tra 1 e  4;

[7 ln (4) - 7/2 ln (16 + 1)] - [7 ln(1) - 7/2 ln (2)] =

= 7 ln(4) - 7/2 ln(17) - 0 + 7/2 ln(2) =

= 7 * 1,386 - 7/2 * 2,833 + 7/2 * 0,693 =

= 9,702 - 9,916 + 2,4255 = 2,212 circa,

raccogliendo 7 a fattor comune:

7 [ln(4) - 1/2 ln(17) + 1/2 ln(2)]=

= 7 * [ln(4) - ln(radicequadrata17) + ln(radicequadrata2)].

Ciao @giulia_borghetti

S_[1,4] ( A/x + (Bx + c)/(x^2 + 1) ) dx

A(x^2 + 1) + Bx^2 + Cx = 7

A + B = 0

C = 0

A = 7 => B = -7

7 S_[1,4] [ (1/x) - 1/2 * 2x/(x^2 + 1) ] dx =

= 7 [ ln x - ln sqrt(x^2 + 1) ]_[1,4] =

= 7 ln x/sqrt(x^2+1) =

= 7 [ ln 4/sqrt(17) - ln 1/sqrt(2) ] =

= 2.214 circa