insiemi compatti

$V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x+y+z=1, xyz=1\}$

Per verificare la compattezza nello spazio euclideo, ci basta verificare se $V$ è chiuso e limitato.

Nota che possiamo riscrivere l'insieme come:

$V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:xy(1-x-y)=1\}$

avendo riscritto $z=1-x-y$.

Abbiamo ottenuto una curva sul piano $xy$.

Possiamo provare a capire se tale curva è limitata o meno.

Fissiamo $y=k$ con $k$ grande a piacere e proviamo a vedere se esiste un $x$ che soddisfa l'equazione:

$xy(1-x-y)=1$

$xk(1-x-k)=1$

$xk-x^2k-k^2x-1=0$

da cui

$kx^2+x(k^2-k)+1=0$

L'equazione ammette soluzione se $\Delta >0$:

$ \Delta = (k^2-k)^2 -4k \geq 0$

$ k^4-2k^3+k^2-4k \geq 0$ 

Supponendo $k\neq 0$ possiamo scrivere:

$ k^3 -2k^2 +k -3 \geq 0$

Per $k$ arbitrariamente grande, il $\Delta$ è positivo, per cui troviamo soluzioni di $x$.

Ciò vuol dire che $\forall y$ arbitrariamente grande, riusciamo a trovare una $x$ che soddisfa l'equazione e dunque la curva non è limitata.

L'insieme dunque non è compatto perché non è limitato.