Va bene "senza uso di lim o derivate perché non li abbiamo ancora studiati", ma che
* y = arctg(x)
sia una funzione dispari con asintoti orizzontali y = ± π/2, almeno questo, lo sai o no?
Se rispondi no, allora puoi smettere di leggere oltre: ti basterà attendere che l'Arcangelo Raffaele (in quanto Farmaco Divino) faccia in modo che tu capisca l'esercizio senza sapere nulla di ciò che è utile a capirlo.
La funzione
* y = arctg(x)
in quanto dispari, passa per O(0, 0); quindi la
* y = arctg(x + w)
passa per W(- w, 0) e per H(0, arctg(w)); e la
* y = h + arctg(x), con - π/2 < h < π/2
passa per W(- tg(h), 0) e per H(0, h); e infine la
* y = h + arctg(x + w), con - π/2 < h < π/2
passa per W(- tg(h) - w, 0) e per H(0, h + arctg(w)).
La funzione dell'esercizio 79
* f(x) = y = a + arctg(x + 1), con - π/2 < a < π/2
è graficata da una curva per W(- 2, 0) il che comporta
* (- tg(h) - w = - 2) & (- π/2 < a < π/2) ≡
≡ (tg(a) + 1 = 2) & (- π/2 < a < π/2) ≡
≡ a = π/4
ed è di tanto che traslano in su i due asintoti:
* - π/2 + π/4 < y < π/2 + π/4 ≡
≡ - π/4 < y < 3*π/4
Risposte ai quesiti
a1) valore di a: π/4
a2) dominio di f(x): l'intero asse x
a3) insieme immagine di f(x): - π/4 < y < 3*π/4
b) y = π/4 + arctg(x + 1) = π/2 ≡
≡ arctg(x + 1) = π/4 ≡
≡ tg(arctg(x + 1)) = tg(π/4) ≡
≡ x + 1 = 1 ≡
≡ x = 0
c1) dal ribaltamento attorno al punto H(0, π/2) si ha
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D%CF%80%2F4--arctg%28%7Cx%7C--1%29%5Dx%3D-9to9%2Cy%3D-0.5to3
c2) f(x) = f(|x|) ≡
≡ π/4 + arctg(x + 1) = π/4 + arctg(|x| + 1) ≡
≡ arctg(x + 1) = arctg(|x| + 1) ≡
≡ x >= 0
