[Risolto] In una regione cilindrica dello spazio di raggio 45 cm

Suppongo che il campo magnetico abbia una direzione parallela all'asse del cilindro e sia uniforme al suo interno.

Per la terza legge di Maxwell sappiamo che la circuitazione del campo elettrico dipende dalla variazione del flusso del campo magnetico:

$L(E)= - \frac{\Delta \Phi(B)}{\Delta t}$

All'inizio (t=0s) non c'è variazione di campo magnetico, quindi il campo elettrico sarà nullo e il protone non subisce alcuna accelerazione.

Vediamo cosa succede a t=50s.

Il campo magnetico deve azzerarsi uniformemente, il che vuol dire che la diminuzione della sua intensità deve seguire un andamento lineare del tipo:

$B(t)= B_0-vt$

dove k è la velocità con cui diminuisce il campo e $B_0 = 3T$ è il valore iniziale (che si ottiene per t=0 s).

Sapendo che per t=60s , B(t)=0 T, dev'essere:

$0 = 3T - v*60s$

da cui:

$v = 3 T/60s = 0.05 T/s$

Ricaviamo dunque che il campo dopo 50 s ha intensità:

$B(50) = 3T - 0.05T/s * 50s = 0.5 T$

e quindi la variazione di intensità è:

$\Delta B= B(50)-B_0 = 0.5 T - 3 T = -2.5 T$

Per trovare il campo elettrico, consideriamo come superficie un cerchio parallelo alle basi del cilindro e con esso concentrico, di raggio r=10 cm.

Abbiamo dunque che:

$L(E)= - \frac{\Delta \Phi(B)}{\Delta t}$

$ E * 2\pi r = - \frac{\Delta B * \pi r^2}{\Delta t}$

$ E= - \frac{\Delta B * r}{2 *\Delta t}$

$ E = \frac{2.5 T * 0.10 m}{2 * 50s}$

$ E = 0.0025 V/m$

La forza che subisce il protone sarà pari a:

$ F = E*q = 0.0025 V/m * 1.6 \times 10^{-19} C = 0.004\times 10^{-19} N$

E dunque l'accelerazione:

$ a = F/m = 0.004\times 10^{-19} / 1.67\times 10^{-27} = 0.0024 \times 10^{+8} m/s^2 = 2.4\times 10^{+5} m/s^2$

 

Noemi 

La circuitazione di E (fem, lavoro del campo E) è uguale alla variazione  del fusso di B. (Legge diMaxwell).

Inizialmente se B = costante, il campo E = 0 V/m.

Se varia B, verrà indotto un campo E.

Bo = 3 T;

In 60 secondi diventa 0 T, diminuisce linearmente.

Variazione in un secondo: (diminuzione);

3 / 60 = 0,05 T/s;

Delta B / Delta t = - 0,05 T/s;

B = - 0,05 * t + 3;

Dopo t = 50 s il campo B diventa:

B = - 0,05 * 50 + 3 = - 2,5 + 3 = 0,5 T;

Delta B = 0,5 - 3 = - 2,5 T; variazione in 50 s.

Flusso (B) = B * Area;

(Delta  Flusso) = (Delta B) * Area;

Prendiamo l'area di un cerchio di raggio 0,45 m;

Area = pigreco * r^2  m^2;

(Delta  Flusso) / (Delta t) = - 2,5 *  r^2 pigreco / (Delta t);

E * (2 pigreco * r) = - [  - 2,5 *  r^2 pigreco / (Delta t) ];

E = [2,5 *  r^2 pigreco] / [(Delta t) (2 pigreco * r) ];

Delta t = 50 s; r = 0,10 m; raggio della circonferenza dove si trova il protone fermo. 

E = 2,5 * r / (2 * Delta t);

E = 2,5 * 0,10 / (2 * 50) = 2,5 * 10^-3 V/m = 0,0025 V/m;

Forza che subisce il protone:

F = q * E = 1,602 * 10^-19 * 0,0025 = 4,005 * 10^-22 N;

F = m * a;

a = F / m = 4,005 * 10^-22 / 1,673 * 10^- 27 = 2,39 * 10^5 m/s^2;

a = 2,4  * 10^5 m/s^2; (accelerazione del protone).

Ciao  @luciany