[Risolto] Il moto armonico di un pendolo

Io ce l'ho un orologio a pendolo molto vecchio (lo comprò mio nonno a fine '800) e t'assicuro che "il filo del pendolo" negli orologi non c'è, esiste solo nei libri di fisica. Quello che c'è è un bastoncino (il gambo del pendolo, spesso con un pesetto scorrevole su e giù) dello stesso faggio ultrastagionato dei regoli calcolatori e che tuttavia, alla faccia della stagionatura, qualche minima variazione può averla al variare di temperatura e umidità dell'ambiente.
Tutto ciò che questi antichi pendoli garentiscono è che il gambo sia abbastanza lungo da restare nel régime di piccole oscillazioni per cui "T = 2*π*√(L/g)" anche al variare delle condizioni ambientali e della gravità locale; il pesetto scorrevole, variando la posizione del baricentro, serve a regolare l'effettivo periodo dopo che l'apparecchio è stato posto a dimora (si regola per confronto con un cronografo di precisione).
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ESERCIZIO
Considerando
* costante la posizione del pesetto
* costante e uniforme la gravità locale, e quindi il coefficiente
** k = 2*π/√g = 2*π/√9.80665 ~= 2.0064 ~= 2 s/√m
si ha
* T = k*√L; T + ΔT = k*√(L + ΔL); ΔT = k*(√(L + ΔL) - √L)
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Con
* ΔL = 0,15 cm = 3/2000 m
* T = 1 s
si ha
* √L = T/k = √9.80665/(2*π) ~= 1/2
* L = (√9.80665/(2*π))^2 ~= 1/4
e il ritardo su un solo periodo è
* ΔT = k*(√(L + ΔL) - √L) =
= (2*π/√g)*(√((√g/(2*π))^2 + 3/2000) - √g/(2*π)) =
= √(500*g + 3*π^2)/(10*√(5*g)) - 1 =
= √(500*9.80665 + 3*π^2)/(10*√(5*9.80665)) - 1
e su 3600 oscillazioni (ciò che dovrebb'essere un'ora)
* ritardoOrario = 3600*ΔT =
= 3600*(√(500*9.80665 + 3*π^2)/(10*√(5*9.80665)) - 1) ~=
~= 10.85297 ~= 10.853 s
che è poco meno del risultato atteso, evidentemente approssimato al secondo.
IL PESETTO SCORREVOLE VA UN PO' SPOSTATO ALL'INSU'.

1,00^2 = k^2*L  ....(k = 2,0064 = 2*3,14159/√9,80665) 

L = 1/2,0064^2 = 0,2484 m

L' = 0,2484+0,0015 = 0,2499 m

T' = 2,0064*√0,2499 = 1,00300 sec 

scostamento orario = 3/1000*3600 = 10,80 sec  

Lunghezza del pendolo iniziale $l_0= \frac{t_0~^2}{(2π)^2}·g = \frac{1^2}{39,478}·9,8066 ≅ 0,2484~m~= 24,84~cm$;

lunghezza del pendolo odierna $l_1= \frac{24,84~+0,15}{100} ≅ 0,2499~m$;

tempo $t_1= 2π\sqrt{\frac{l_1}{g}} = 2π\sqrt{\frac{0,2499}{9,8066}} = 1,003~s$;

ritardo orario $= (t_1~-t_2)·3600 = (1,003-1)·3600 = 0,003·3600 = 10,8~s ~(≅ 11~s)$.