I poliedri

Con formula inversa determino lo spigolo del cubo:

s^2 = 60·3/20------ > s^2 = 9-------> s= 3 cm

Per sostituzione ottengo l'area laterale piramide:

5·9/3 = 15 cm^2

Volume solido composto=

=Volume piramide+ volume cubo

Volume piramide=1/3*s^2*h

con h ottenibile con Th Pitagora:

h=√(a^2 - (s/2)^2)

a=5/6·3 = 5/2 cm

s/2=3/2 cm

h=√((5/2)^2 - (3/2)^2) = 2 cm

Volume piramide=1/3·3^2·2 = 6 cm^3

Volume cubo =s^3=27 cm^3

Volume solido composto=6+27=33 cm^3

area totale At = 60 cm^2 = 5 facce del cubo+ area laterale della piramide 

60 = 5*S^2+2S*5S/6 = S^2(5+10/6) = 40S^2/6

S = √60*6/40 = 3,0 cm 

area laterale piramide Alp = 2S*5S/6 = 6*15/6 = 15 cm^2

apotema piramide a = 3*5/6 = 2,5 cm 

altezza piramide h = √a^2-(S/2)^2 = 1/10√625-225 = 20/10 = 2,0 cm

volume piramide Vp =S^2*h/3 = 9*2/3 = 6,0 cm^3

volume cubo Vc = 3^3 = 27 cm ^3

volume totale V = Vp+Vc = 27+6 = 33 cm^3

Ricorro al metodo aritmetico della "falsa posizione" per evitare le equazioni. E' però richiesto di sapere che se
un lato si moltiplica per k, allora le aree restano moltiplicate per k^2 e i volumi per k^3.

Area totale del solido

sono 5 facce + l'area laterale della piramide.

Supponiamo che lo spigolo del cubo misuri 1 dm

L'area totale sarebbe allora, in dm^2

( 5*1^2 + 1/2 * (4*1) * 5/6 * 1 ) = 5 + 5/3 = 20/3.

Essendo invece 60 dm^2, risulta 60 : 20/3 = 9 volte maggiore

e così la reale misura dello spigolo del cubo é

1 dm * rad(9) = 3 dm

così a) SLp = 1/2 * 4*3 * 5/6*3 dm^2 = 15 dm^2

b) mentre il volume del solido é

3^3 + 1/3 * 9 * hp = (27 + 3 hp ) dm^3

L'altezza della piramide é il cateto maggiore

di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa

misura 5/6*3 = 2.5 dm e il cateto minore é 3/2 dm

ovvero 1.5 dm

allora hp = rad(2.5^2 - 1.5^2) dm =

= rad(6.25 - 2.25) dm = rad(4) dm = 2 dm

Vt = (27 + 3*2) dm^3 = 33 dm^3

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 Spigolo del cubo e spigolo di base della piramide $\small = x;$

quindi, conoscendo l'area totale del solido:

$\small 5x^2+\dfrac{4x·\dfrac{5}{6}x}{2} = 60$

$\small 5x^2+\dfrac{\cancel4^2x·\dfrac{5}{\cancel6_3}x}{2} = 60$

$\small 5x^2+\dfrac{\dfrac{10}{3}x^2}{2} = 60$

$\small 10x^2+\dfrac{10}{3}x^2 = 120$

$\small 30x^2+10x^2 = 360$

$\small 40x^2 = 360$

$\small \dfrac{\cancel{40}x^2}{\cancel{40}} = \dfrac{\cancel{360}^9}{\cancel{40}_1}$

$\small x^2= 9$

$\small \sqrt{x^2}= \sqrt9$

$\small x= 3$

per cui:

spigolo del cubo e spigolo di base della piramide $\small = x= 3\,cm;$

apotema della piramide $\small a= \dfrac{5}{6}x = \dfrac{5}{\cancel6_2}×\cancel3^1 = \dfrac{5}{2} = 2,5\,cm;$

altezza della piramide $\small h= \sqrt{2,5^2-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{2,5^2-1,5^2} = \sqrt{6,25-2,25} = \sqrt4 = 2\,cm$ (teorema di Pitagora).

a) Area laterale della piramide $\small Al= \dfrac{2p·a}{2} = \dfrac{4·3·2,5}{2} = \dfrac{30}{2} = 15\,cm^2.$

b) Volume del solido $\small V= V_{cubo}+V_{piramide} = x^3+\dfrac{x^2·h}{3} = 3^3+\dfrac{3^2·2}{3} = 27+\dfrac{9·2}{3} = 27+6=33\,cm^3.$