[Risolto] Esercizi su equazione dell'ellisse

Es. 1.

la traslazione di vettore $v=(2,-1)$ si traduce in

$x'=x+2$ --> $x=x'-2$ 

$y'=y-1$ --> $y=y'+1$

Sostituiamo nell'equazione dell'ellisse

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ -->$\frac{(x'-2)^2}{4}+\frac{(y'+1)^2}{3}=1$ --> 

$\frac{x'^2-4x'+4}{4}+\frac{y'^2+2y'+1}{3}=1$

moltiplicando tutto per 12 a sinistra e destra:

$3x'^2-12x'+12+4y'^2+8y'+4=12$ -->$3x'^2+4y'^2-12x'+8y'+4=0$ 

Es. 3.

Prendendo l'equazione dell'ellisse in forma canonica,
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

l'asse maggiore $a$ uguale a 4 significa che $a^2$=16
l'asse minore $b$ uguale a 2 significa che $b^2$=4
Quindi in forma canonica l'ellisse ha equazione:

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$

adesso va applicata la traslazione che porta il centro $C(0,0)$ in $C'(3,-1)$, ovvero una traslazioe di vettore $v=(3,-1)$
$x'=x+3$ --> $x=x'-3$
$y'=y-1$ --> $y=y'+1$

Sostituendo, come abbiamo fatto negli altri due esercizi:
$\frac{(x'-3)^2}{16}+\frac{(y'+1)^2}{4}=1$

Es. 2

In questo caso la prima cosa da trovare sono i fuochi.
dato che $25>9$ ($b^2>a^2$) i fuochi avranno coordinate $F1 (0,-c)$ e $F2 (0,c)$

e il coefficiente $c$ va calcolato come
$c=\sqrt{b^2-a^2}=\sqrt{25-9}=4$

Quindi i fuochi sono $F1 (0,-4)$ e $F2 (0, 4)$

Il testo ci dice che dobbiamo prendere il fuoco di ordinata negativa, perciò F1 e trovare la traslazione che ci porta da $F1 (0,-4)$ a $F1' (2,0)$

è abbastanza chiaro che la traslazione è data da v=(2,4), in quanto la x deve passare da 0 a 2 (quindi va aggiunto un "+2") e la y deve passare da -4 a 0, quindi va aggiunto un "+4".

Pertanto:
$x'=x+2$ --> $x=x'-2$
$y'=y+4$ --> $y=y'-4$

sostituendo come nell'esercizio precedente (è identico adesso, cambiano solo i numeri):

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ --> $\frac{(x'-2)^2}{9}+\frac{(y'-4)^2}{25}=1$ --> $\frac{x'^2-4x'+4}{9}+\frac{y'^2-8y'+16}{25}=1$

Adesso moltiplichiamo per $25*9=225$ a sinistra e destra:
$25x'^2-100x'+100+9y'^2-72y'+144=225$

$25x'^2+9y'^2-100x'-72y'+19=0$