[Risolto] rette tangenti alla circonferenza per un punto

RIPASSI
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A) Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro (a, b).
Si determina l'equazione della circonferenza calcolando i tre parametri (a, b, q) in funzione dei dati forniti, se questi sono acconci e sufficienti a stabilire tre vincoli sui parametri.
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B) Problema delle tangenti, retta polare, sdoppiamenti.
La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v), il polo, rispetto alla cònica Γ si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, f(x, y) = 0, lasciàndone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
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Se il punto P è interno alla cònica Γ, p(Γ, P) non interessa il problema delle tangenti.
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Se il punto P è sulla cònica Γ, p(Γ, P) è la tangente in P.
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Se il punto P è esterno alla cònica Γ, p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.
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Viceversa:
* se la polare è secante Γ, allora il polo è esterno a Γ;
* se la polare è tangente Γ, allora il polo è su Γ;
* se la polare è esterna a Γ, allora il polo le è interno.
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ESERCIZI
Determinare, se esistono, le seguenti entità.
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A) Le equazioni delle rette per il punto P(0,4) tangenti la circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 = 8
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Sdoppiamento
* p(Γ, P) ≡ u*x + v*y = 8 ≡ 0*x + 4*y = 8 ≡ y = 2
Sistema
* (y = 2) & (x^2 + y^2 = 8) ≡ (± 2, 2)
con due intersezioni, P è esterno a Γ.
Tangenti
* t1 ≡ (0,4)(- 2, 2) ≡ y = 4 + x
* t2 ≡ (0,4)(+ 2, 2) ≡ y = 4 - x
Grafico
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5B%28y-2%29*%28-y%2B4-x%29*%28-y%2B4%2Bx%29%3D0%2Cx%5E2%2By%5E2%3D8%5Dx%3D-3to3%2Cy%3D-3to5
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B) L'equazione della circonferenza Γ che ha i punti {A(0, 2), B(- 4, - 2)} per estremi di un diametro
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* Centro = (A + B)/2 = ((0, 2) + (- 4, - 2))/2 = (- 2, 0)
* Raggio = |AB|/2 = 4*√2
* Γ ≡ (x + 2)^2 + y^2 = (4*√2)^2 ≡
≡ x^2 + y^2 + 4*x - 28 = 0
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C) L'equazione della circonferenza Γ per i punti
* A(0, 4), B(2, 0), C(3, 1)
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Le condizioni di passaggio impongono i seguenti vincoli
* per (0, 4): (0 - a)^2 + (4 - b)^2 = q
* per (2, 0): (2 - a)^2 + (0 - b)^2 = q
* per (3, 1): (3 - a)^2 + (1 - b)^2 = q
il cui sistema
* ((- a)^2 + (4 - b)^2 = q) & ((2 - a)^2 + (- b)^2 = q) & ((3 - a)^2 + (1 - b)^2 = q)
ha la soluzione
* (a, b, q) = (1, 2, 5)
da cui
* Γ ≡ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5^2 ≡
≡ x^2 + y^2 - 2*x - 4*y - 20 = 0

@disegno_per_contratto

Ciao e benvenuto/a

Come espresso dal:

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

Un invito ad esplicitare le tue difficoltà nell'eseguire gli esercizi che richiedi.

Metto a sistema la circonferenza con la generica retta del fascio proprio per P:

{x^2 + y^2 = 8

{y - 4 = m·(x - 0)

Risolvo per sostituzione:

y = m·x + 4------> x^2 + (m·x + 4)^2 = 8-----> x^2·(m^2 + 1) + 8·m·x + 8 = 0

Impongo la condizione di tangenza:

Δ/4 = 0------> (4·m)^2 - 8·(m^2 + 1) = 0----> 8·m^2 - 8 = 0

8·(m + 1)·(m - 1) = 0-----> m = -1 ∨ m = 1

2 rette tangenti:

y = 4 - x  e  y = x + 4