Grafici di funzioni integrali

Mi sembra che abbia già risposto..

La funzione f di figura è una funzione definita a tratti:

f=

{x + 2 per x < 1

{6 - 3·x  per 1 ≤ x < 3

{3·x - 12  per 3 ≤ x < 5

{3      per  x ≥ 5

La funzione y integrale della stessa, è anch'essa definita a tratti ed è continua come continua risulta quella data. Bisogna ricavare quindi:

y=

{x^2/2 + 2·x + α    per x < 1

{6·x - 3·x^2/2 + β    per 1 ≤ x < 3

{3·x^2/2 - 12·x + γ    per 3 ≤ x < 5

{3·x + δ    per x ≥ 5

Le costanti di integrazione α, β, γ, δ vengono definite in base alle condizioni iniziali.

Condizione iniziale per il primo tratto è che per x=-1 deve essere y=0

Quindi:

(-1)^2/2 + 2·(-1) + α = 0-----> α = 3/2

x^2/2 + 2·x + 3/2 è la prima componente della funzione integrale

Per la continuità della funzione integrale, il secondo tratto deve avere un'ordinata pari a:

1^2/2 + 2·1 + 3/2 = 4

[1, 4] è la condizione iniziale del 2° tratto

6·1 - 3·1^2/2 + β = 4----> β = - 1/2

- 3·x^2/2 + 6·x - 1/2 è la 2^ componente

- 3·3^2/2 + 6·3 - 1/2= 4

[3, 4] è la condizione iniziale del 3° tratto

3·3^2/2 - 12·3 + γ = 4-----> γ = 53/2

3·x^2/2 - 12·x + 53/2 è la 3^ componente

3·5^2/2 - 12·5 + 53/2 = 4

[5, 4] è la condizione iniziale del 4° tratto

3·5 + δ = 4-----> δ = -11

3·x - 11 è la 4^ componente

Otteniamo perciò:

y=

{x^2/2 + 2·x + 3/2   per x < 1

{- 3·x^2/2 + 6·x - 1/2    per 1 ≤ x < 3

{3·x^2/2 - 12·x + 53/2    per 3 ≤ x < 5

{3·x - 11    per x ≥ 5