[Risolto] GRAFICI

Osservazioni sulla F(x):

• F(x) è strettamente crescente in (-∞, 0)  ⇒  f(x) deve essere positiva in (-∞,0)
• F(x) è strettamente decrescente in (0, α) ⇒  f(x) deve essere negativa in (0, α)
• F(x) è strettamente crescente in (α, +∞) ⇒  f(x) deve essere positiva in (α, +∞)

Prime considerazioni. Solo le funzioni A. e B. soddisfano tali requisiti, ma non è sufficiente a determinare f(x).

Osserviamo inoltre che:

• F(x) ha un punto stazionario per x = 0 ⇒ f(x) ha uno zero in x = 0
• F(x) ha un punto stazionario per x = α ⇒ f(x) ha uno zero in x = α
• α > 0

Studiamo gli zeri delle funzioni A. e B. a cui corrispondono i punti stazionari

A.  f(x) = x²-2x = x(x-2). f(x) possiede due zeri x = 0 e x = 2 inoltre 2 > 0 come richiesto 

B.  f(x) = x²+2x = x(x+2). f(x) possiede due zeri x = -2 e x = 0 non soddisfa i requisiti richiesti.

La funzione cercata è f(x) = x² - 2x, cioè la A.

Rapida verifica.

Integriamo f(x) e otteniamo $F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + c $ queste sono tutte le primitive. La nostra F(x) è quella che per x = 0 vale 0. cioè F(0) = 0 che implica c = 0.

Disegniamo il grafico della funzione $F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2$