[Risolto] GONIOMETRIA: COEFFICIENTE ANGOLARE DI UNA RETTA

TUTTI I PASSAGGI
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A) Capire di che cosa si tratta.
La premessa «Data la retta di equazione (k-1)x+ky-2=0» è, per dirla con Camilleri, una sullenne minchiata.
La data equazione
* r(k) ≡ (k - 1)*x + k*y - 2 = 0
non rappresenta affatto "la retta" al singolare con l'articolo determinativo, ma un paraboloide iperbolico dello spazio Okxy che —proiettato sul piano Oxy— dà luogo a un fascio di rette in (x, y) di parametro k nei coefficienti delle variabili.
Il fascio r(k) ha due casi particolari
A1) r(0) ≡ x = - 2
A2) r(1) ≡ y = 2
che ne individuano il centro C(- 2, 2) e il caso generale, per k != 0,
A3) r(k) ≡ y = (1/k - 1)*x + 2/k
con
* intercetta q(k) = 2/k
* pendenza m(k) = (1/k - 1)
* inclinazione θ(k) = arctg(m) = arctg(1/k - 1)
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B) Capire la consegna.
Determinare per quali valori di k l'inclinazione sia compresa fra π/4 e π/3. Cioè risolvere il sistema di disequazioni
* π/4 <= θ <= π/3
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C) Ottemperare alla consegna.
Essendo l'inclinazione definita come arcotangente di una funzione razionale di k la risoluzione inizia con l'applicare membro a membro l'operazione di tangente in modo da isolare tale funzione e ridursi a disequazioni razionali
* π/4 <= θ <= π/3 ≡
≡ π/4 <= arctg(1/k - 1) <= π/3 ≡
≡ tg(π/4) <= tg(arctg(1/k - 1)) <= tg(π/3) ≡
≡ 1 <= 1/k - 1 <= √3 ≡
≡ 1 + 1 <= 1/k <= √3 + 1 ≡
≡ 1/2 >= k >= 1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/2 ~= 0.37 ≡
≡ (√3 - 1)/2 <= k <= 1/2

(k - 1)·x + k·y - 2 = 0

riscrivo: y = x·(1 - k)/k + 2/k

riconosco: 

m = TAN(α) = (1 - k)/k coefficiente angolare della generica retta del fascio

se deve essere pi/4 < α < pi/3, sappiamo che:

TAN(pi/4) = 1 e TAN(pi/3) = √3

quindi deve risultare

1 < (1 - k)/k < √3-----> (√3 - 1)/2 < k < 1/2