Goniometria

Sappiamo che $\cos x = 0 \implies x= \frac{\pi}{2} + \pi k$, quindi la richiesta del problema si riduce a trovare un valore di $k$ tale che $3 \pi < \frac{\pi}{2} + \pi k < 5 \pi$, risolviamo raccogliendo e dividendo per $\pi$:

$3<\frac{1}{2} +k < 5$

$\frac{5}{2} < k < \frac{9}{2}$

Ricordiamo che $k \in \mathbb{Z}$, quindi relativamente a questo intervallo $k_1 = 3,\ k_2=4$, quindi $x_1= \pi (\frac{1}{2} +3) = \frac{7}{2} \pi,\ x_2= \pi (\frac{1}{2} +4) = \frac{9}{2} \pi$.

Mentre per $\cos x = \frac{1}{2}$ abbiamo che $x= \frac{\pi}{3} + 2\pi k \lor x = \frac{5}{3} \pi + 2\pi k$, quindi applichiamo la stessa logica di poco fa:

$-3 \pi < \frac{\pi}{3} + 2 \pi k < 0 \lor -3 \pi < \frac{5}{3} \pi + 2\pi k < 0$

$-3 < \frac{1}{3} + 2k < 0 \lor -3 < \frac{5}{3} + 2k <0$

$-\frac{5}{3} < k < -\frac{1}{6} \lor -\frac{7}{3} < k < -\frac{5}{6}$

Unendo gli intervalli notiamo che dato che $k \in \mathbb{Z}$, i possibili valori di $k$ nell'intervallo dato sono $k_1= -2,\ k_2=-1$, da cui $x_1= \frac{\pi}{3} -2\pi = -\frac{5}{3} \pi,\ x_2= \frac{5}{3} \pi -4\pi = -\frac{7}{3} \pi,\ x_3= \frac{5}{3} - 2 \pi = -\frac{1}{3} \pi$.