[Risolto] GONIOMETRIA

$y = \pi - arcsin(1-2x)$

Per determinare il dominio chiediamo che l'argomento sia compreso tra -1 e 1:

$ -1 \leq 1-2x \leq 1$

Sottraggo 1 da tutti i membri:

$ -2 \leq -2x \leq 0$

Divido per 2:

$ -1 \leq -x \leq 0$

e cambio i segni, invertendo l'ordine delle disequazioni:

$ 0 \leq x \leq 1$

Dunque il dominio è $D = [0,1]$

Per disegnare questa funzione possiamo utilizzare le trasformazioni geometriche. Partiamo dalla funzione di "base":

$ y = arcsin(x)$

Cominciamo con una simmetria rispetto all'asse x che ci porta in:

$ y = - arcsin(x)$

Trasliamo la funzione di vettore $(-1, \pi)$, cioè applicando la trasformazione: 

{$x = x'+1$

{$y= y'-\pi$

per ottenere:

$ y' - \pi = -arcsin(x'+1)$

rinominando e sistemando:

$ y = \pi  - arcsin(x+1)$

Ora consideriamo la simmetria rispetto all'asse x:

$ y = \pi - arcsin(-x+1)$

E infine applichiamo una dilatazione di parametri $(1/2, 1)$ per ottenere:

$ y = \pi - \arcsin(-2x+1)$

La sequenza di trasformazioni è quella che vedi in figura:

E' immediato notare che la funzione risulta invertibile nel suo dominio, essendo iniettiva. Ricaviamo l'espressione dell'inversa, isolando la x:

$ y = \pi - arcsin(-2x+1)$

$ arcsin(-2x+1) = \pi - y$

$ -2x+1 = sin(\pi-y)$

$ -2x = sin(\pi-y) -1$

$ x = \frac{-sin(\pi-y)+1}{2}$

Scambiamo quindi x e y per ottenere l'inversa:

$ y = \frac{-sin(\pi-x)+1}{2}$

Per disegnare questa possiamo semplicemente considerare la simmetrica della funzione iniziale rispetto alla bisettrice:

Noemi