[Risolto] Geometria solida

Problema numero 1:

Dati:

H_prisma prisma: 15 cm

Perimetro della base (P) del prisma (rombo): 60 cm

Diagonale maggiore (D) del rombo: 24 cm

H_piramide: 9,6 cm

Incognite:

calcola l'area totale e il volume del solido.

Svolgimento:

Calcolo del lato del rombo:

L = P/4 = 60/4 = 15 cm

Calcolo della diagonale minore del rombo:

d = 2‧√(L² - (D/2)²) = 2‧√(15² - (24/2)²) = 2‧√(15² - 12²) = 18 cm

Calcolo dell'area della base del prisma (rombo):

Ab = (D ‧ d)/2 = (24 ‧ 12)/2 = 432/2 = 216 cm²

Calcolo dell'area laterale del prisma:

AL_prisma = Perimetro della base ‧ H_prisma= 60 ‧ 15 = 900 cm²

Calcolo del raggio di base della piramide:

r = (2 ‧ Ab)/P = (2 ‧216)/60 = 7,2 cm

Calcolo dell'apotema della piramide:

a = √(H_piramide² + r²) = √(9,6² + 7,2²) = √144 = 12 cm

Calcolo dell'area laterale della piramide:

AL_piramide = (P ‧ a)/2 = (60 ‧ 12)/2 = 720/2 = 360 cm²

Calcolo Area del solido:

A_solido = AL_prisma + Ab + AL_piramide = 900 + 216 + 360 = 1476 cm²

Calcolo Volume Prisma:

V_prisma = Ab ‧ H_prisma = 216 ‧ 15 = 3240 cm³

Calcolo Volume Piramide:

V_piramide = (Ab ‧ H_piramide)/3 = (216 ‧ 9,6)/3 = 691,2 cm³

Calcolo Volume del solido:

V_solido = V_prisma + V_piramide = 3240 + 691,2 = 3931,2 cm³

Problema numero 2:

DATI:

Area_laterale_piramide: 960 cm²

Apotema (a): 20 cm

massa del solido (m): 42240 g

Incognite:

Volume del solido

Densità del solido

Svolgimento

Calcolo perimetro di base:

Dall'area laterale della piramide, possiamo ricavare il perimetro della sua base:

Perimetro base piramide = (2 ‧ Area_laterale_piramide) /a = (2 ‧ 960) /20 = 96 cm

La base della piramide è un quadrato, il suo lato è dato dal perimetro diviso per 4:

Lato  = Perimetro base piramide / 4 = 96/4 = 24 cm

Calcolo Area di base:

Ab = Lato² = 24² =576 cm²

Calcolo altezza della piramide

h_piramide = √((a² - (Lato/2)²) = √(20² - (24/2)²) = √(20² - 12²) = 16 cm

Calcolo volume della piramide:

V_piramide = (Ab ‧ h_piramide)/3 = (576 ‧ 16)/3 = 3072 cm³

Calcolo volume del cubo:

V_cubo = L³ = 24³ = 13824 cm³

Calcolo volume del solido:

V_solido = V_piramide  + V_cubo = 3072 + 13824  = 16896 cm³

Calcolo densità del solido:

d = m/V = 42240/16896 = 2.5 g

1)

un solido è formato da un prisma retto alto H 15 cm avente per base un rombo con il perimetro 2p di 60 cm e la diagonale maggiore D lunga 24 cm, sormontato da una piramide retta avente la base coincidente con una base del prisma. Sapendo che l'altezza h della piramide misura 9,6 cm, calcola l'area totale e il volume del solido.(1476 cm², 3.931,2 cm³)

piramide :

lato L = 2p/4 = 60/4 = 15 cm

semi-diagonale minore d/2 = √L^2-(D/2)^2 = √15^2-12^2 = 9,0 cm 

raggio r = D/2*d/2 / L = 9*12/15 = 7,20 cm

apotema a = √h^2+r^2 = √9,6^2+7,2^2 = 12,0 cm

superficie laterale Alpi = 2L*a = 30*12 = 360 cm^2

volume Vpi = D*d/2*h/3 = 24*9*9,6/3 = 691,20 cm^2

 

prisma :

area Apr = 24*9+60*15 = 1116 cm^2

volume Vpr = D*d/2*H = 24*9*15 = 3.240 cm^3

 

solido : 

area totale A = Alpi+Apr = 360+1116 = 1.476 cm^2

volume V = Vpi+Vpr = 691,20+3.240 = 3.931,20 cm^3

2)

un solido è formato da un cubo e da una piramide regolare avente la base coincidente con una faccia del cubo. Sapendo che la piramide ha l'area laterale Alpi di 960 cm² e l'apotema a lungo 20 cm, calcola il volume V del solido. Se la massa del solido è 42.240 g, calcola la sua densità d. 

( 16.896 cm³, 2,5 g / cm ³)

piramide :

Alpi = 2l*a

spigolo l = Alpi/2a = 960/40 = 24,0 cm

altezza h = √a^2-(l/2)^2 = √20^2-12^2 = 16,0 cm

volume Vpi = 24^2*16/3 = 3.072 cm^3

cubo :

volume Vc = l^3 = 24^3 = 1.3824 cm^3

solido : 

volume Vs = Vpi+Vc = 3.072+13.824 = 16.896 cm^3

densità d = 42.240/16.896 = 2,500 grammi/cm^3