[Risolto] Geometria solida

Un prisma retto, alto 10 cm, ha per base un trapezio isoscele. Il perimetro del trapezio è 214 cm, il lato obliquo misura 37 cm e la base maggiore è il triplo della minore. Calcola:
a. L'area laterale, l'area totale e il volume del prisma;
b. L'altezza di una piramide quadrangolare regolare equivalente al prisma e avente lo spigolo di base di 20 cm.

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a) Prisma

Trapezio isoscele di base:

somma delle basi $B+b= 2p-2×lo = 214-2×37 = 140\,cm;$

conoscendo il rapporto tra le basi (3/1) fai:

base maggiore $B= \dfrac{140}{3+1}×3 = \dfrac{140}{4}×3 = 35×3 = 105\,cm;$

base minore $b= 140-105 = 35\,cm;$

proiezione lato obliquo $plo= \dfrac{B-b}{2} = \dfrac{105-35}{2} = \dfrac{70}{2} = 35\,cm;$

altezza $h_1= \sqrt{(lo)^2-(plo)^2} = \sqrt{37^2-35^2} = 12\,cm$ (teorema di Pitagora);

prisma:

area di base $Ab= \dfrac{(B+b)×h}{2} = \dfrac{(105+35)×12}{2} = \dfrac{140×12}{2} = 840\,cm^2;$

area laterale $Al= 2p_b×h = 214×10 = 2140\,cm^2;$

area totale $At= Al+2×Ab = 2140+2×840 = 3820\,cm^2;$

volume $V= Ab×h = 840×10 = 8400\,cm^3.$

b) Piramide quadrangolare equivalente

Volume $V= 8400\,cm^3;$

area di base $Ab= s^2 = 20^2 = 400\,cm^2;$

altezza $h= \dfrac{3×V}{Ab} = \dfrac{3×\cancel{8400}^{21}}{\cancel{400}_1} = 3×21 = 63\,cm$ (formula inversa del volume).