[Risolto] Geometria solida

Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo. La somma dell'ipotenusa e di uno dei cateti di base misura 36 cm e il cateto è i 5/13 dell'ipotenusa sapendo che l'area totale del prisma è di 1140 centimetri quadrati calcola il volume.

===== DATI DEL PROBLEMA
C1+ip=36 cm
C1=5/13*ip
A_tot = 1140 cm²

indicando con x l'ipotenusa possiamo scrivere:
x+(5/13)x=36
(13x+5x)/13 = 36
18x/13=36
x=36 cm*13/18 = 26 cm
ip=x = 26 cm
C1=5/13*x = 10 cm

Calcoliamo l'altro cateto con Pitagora:
C2=Sqrt(ip^2-C1^2) = 24 cm

Calcoliamo l'area di base e a seguire l'area laterale del prisma:
A_base=C1*C2/2 = 120 cm²
A_lat=A_tot-(2*A_base) = 900 cm²

Calcoliamo il perimetro di base (perimetro triangolo rettangolo)
P_base=C1+C2+ip = 60 cm

dalla formula dell'area laterale A_lat=P_base*h calcoliamo l'altezza del prisma
h=A_lat/P_base = 15 cm

Ora possiamo calcolare il volume:
V=A_base*h = 1800 cm³

Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo dove la somma dell'ipotenusa i e di uno dei cateti di base c misura 36 cm e il cateto è i 5/13 dell'ipotenusa;  sapendo che l'area totale del prisma è di 1140 centimetri quadrati calcola il volume

c/i = 5/13

c = 5i/13

i+c = i+5i/13 = 18i/13 = 36

i = 36/18*13 = 26 cm

c = 36-26 = 10 cm 

cateto maggiore C = √i^2-c^2 = 676-100 = 24 cm 

area laterale Al = 1140-24*10 = 900 cm^2 = 2p*h

altezza h = 900/(24+26+10) = 15 cm 

volume V = 24*10/2*15 = 1800 cm^3

Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo la somma dell'ipotenusa e di uno dei cateti di base misura 36 cm e il cateto è i 5/13 dell'ipotenusa sapendo che l'area totale del prisma è di 1140 centimetri quadrati calcola il volume.

=============================================

$\small\text{Triangolo rettangolo di base, conoscendo somma e rapporto tra cateto (il minore) e }$

$\small\text{ipotenusa, calcola come segue:}$

$\small\text{cateto minore: \(c= \dfrac{36}{5+13}×5 = \dfrac{\cancel{36}^2}{\cancel{18}_1}×5 = 2×5 = 10\,cm\);}$

$\small\text{ipotenusa: \(i= \dfrac{36}{5+13}×13 = \dfrac{\cancel{36}^2}{\cancel{18}_1}×13 = 2×13 = 26\,cm\);}$

$\small\text{cateto maggiore: \(C= \sqrt{i^2-c^2} = \sqrt{26^2-10^2} = 24\,cm \quad\) (teorema di Pitagora);}$

$\small\text{quindi, perimetro di base: \(2p= C+c+i = 24+10+26 = 60\,cm\);}$

$\small\text{area di base: \(Ab= \dfrac{C×c}{2} = \dfrac{\cancel{24}^{12}×10}{\cancel2_1} = 12×10 = 120\,cm^2\);}$

$\small\text{area laterale: \(Al= At-2×Ab = 1140-2×120 = 1140-240 = 900\,cm^2\);}$ 

$\small\text{altezza del prisma: \(h= \dfrac{Al}{2p} = \dfrac{\cancel{900}^{15}}{\cancel{60}_1} = 15\,cm\);}$

$\small\text{volume: \(V= Ab×h = 120×15 = 1800\,cm^3\).}$