Propongo il seguente esercizio come passatempo 😊Â
Fissato nello spazio un sistema di riferimento $S= \left \{O; \vec{v_1}, \vec{v_2},\vec{v_3} \right \}$ tale che
$\left\| \vec{v_1} \right\|=1$, $\left\| \vec{v_2} \right\|=2$, $\left\| \vec{v_3} \right\|=3$, $\widehat{\vec{v_1}\vec{v_2}}=60°$, $\widehat{\vec{v_1}\vec{v_3}}=\widehat{\vec{v_2}\vec{v_3}}=90°$, rappresentare analiticamente la sfera di centro $C=(0,1,0)$ e raggio $2$
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Livello 9
@Sebastiano
M'hai colto in castagna! Questa volta in soffitta ci devo andare davvero, a cercare il libro del 1958. Non mi ricordo una ceppa, sarà un bel passatempo: grazie.
Se concludo qualcosa ti rispondo a prima notte e se non concludo grazie lo stesso.
Sono contento!! Mi sa che sarai il solo che proverà a risolverlo...mi dispiace un pochino che gli altri non ci si mettano nemmeno 😔. Comunque fai con calma, non c'è furia!
@Sebastiano
E con calma farò, perché sto cercando di riequilibrare la parte psichica di un brutto squilibrio fisico che oggi m'ha fatto una fifa del diavolo. Uno dei miei molteplici acciacchi non nel ramo cancro, ma nel ramo cardiopatia (infarto, fibrillazione, lieve blocco di branca, ...) s'è fatto vivo oggi: è durato pochi minuti, ma avere pochi battiti al minuto (40, 38, 33, 32 per un sacco di tempo, 42, 55, ahah!) per più di qualche secondo è più terrorizzante della volta che ne avevo 254 (un professore di Cardiologia della Sapienza a cui chiedevo un rimedio per questa variabilità estrema mi gelò con "io non modificherei nessun dosaggio; la situazione può facilmente evolvere in morte improvvisa."). Capirai che vedere la frequenza che un minuto dopo l'altro calava sempre più mi ha fatto passare di mente la geometria analitica e per un bel po': sono passate ore e ancora ci sto pensando! Spero d'addormentarmi e dormirci su; se domattina mi sveglio vivo penserò al passatempo e ti farò sapere.
Adesso sono ancora un po' scosso, anzi scusami se t'ho vomitato addosso i miei cattivi pensieri; tu non c'entri nulla, ma mi sono alleggerito scrivendo.
Buonanotte e a domani (spero proprio!).
spero davvero di poterti dare il buongiorno. Non ti preoccupare, ti capisco e se la cosa ti fa stare meglio scrivi pure.
Un caro saluto, spero tu stia meglio oggi.
Ciao, trovo che sia un buon giorno perché: mi sono svegliato; il pulsiossimetro mi dice 52 bpm; e alla lieve desaturazione al 89% posso rimediare con qualche esercizio di respirazione controllata e mezz'oretta attaccato alla cannula dell'ossigeno.
Perciò mi sono sentito abbastanza di buon umore da attaccare il problema senza consultare nulla: mi sono inventato a naso un procedimento che è poco probabile sia corretto perché dopo neanche dieci minuti avevo già ottenuto l'espressione
* σ ≡ 9*u^2 + 6*v^2 + w^2 - (6*√3)*u*v + (6*√3)*u - 12*v - 30 = 0
della sfera σ nel riferimento Ouvw dello spazio (O, v1, v2, v3) dato.
Siccome non credo che un problema difficile si riesca a risolvere in una manciata di minuti, sia pure dopo averlo macinato ore nel subconscio, e siccome non mi va di esporre al pubblico ludibrio ragionamenti probabilmente aberranti (inventati dopo 64 anni dall'esame sull'argomento!) NON LI PUBBLICO ADESSO.
Se però t'accorgi che quell'espressione può andar bene e me lo fai sapere, li pubblicherò allora.
Tuttavia, il problema mi sarà piaciuto anche nel caso che abbia scritto una "sullenne minchiata" (è di Camilleri, non mia!).
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Genius I
l'espressione a cui sei arrivato non è male a dire la verità . Pubblico io di seguito cosa ho fatto.
Per prima cosa vanno calcolati i prodotti scalari fra i vettori del sistema di riferimento:
$\vec{v_1} \vec{v_2}$ $=$ $\left\| \vec{v_1} \right\|$ $\left\| \vec{v_2} \right\|$ cos(60°) $=1*2*0.5=1$
$\vec{v_1} \vec{v_3}=\vec{v_2} \vec{v_3}=0$
dopodichè chiamo il punto $P$ generico come $\vec{P}=x\vec{v_1}+y\vec{v_2}+z\vec{v_3}$
il punto $C$ invece risulta semplicemente $\vec{C}=\vec{v_2}$
Quindi il vettore $\vec{PC}$ risulta $\vec{PC}=x\vec{v_1}+(y-1)\vec{v_2}+z\vec{v_3}$
La norma di tale vettore deve essere pari al raggio, quindi pari a $2$ pertanto, dalla definizione di norma:
$\left\| \vec{PC} \right\|= $ $\sqrt{ \vec{PC} \cdot \vec{PC}}$Â
ottengo
$\left\| \vec{PC} \right\|^2= $ $ \vec{PC} \cdot \vec{PC} = 4$Â
ovvero
$(x\vec{v_1}+(y-1)\vec{v_2}+z\vec{v_3}) \cdot (x\vec{v_1}+(y-1)\vec{v_2}+z\vec{v_3})=4$
Svolgendo i conti, se non ho sbagliato e non mi sono imbrogliato con i prodotti scalari, mi risulta la seguente espressione per la sfera:
$x^2+4y^2+9z^2-2x-8y+2xy=0$
Â
@Sebastiano Peccato! L'avevo detto che non era cosa.
