geometria euclidea nello spazio

Con riferimento alla figura allegata possiamo scrivere il sistema:

{2·(x + y)·a/(y^2 - x^2) = 2

{x + y = 5·a

che risolto fornisce:[ x = 2·a ∧ y = 3·a ∧ x^2 - y^2 ≠ 0]

Passiamo quindi al tronco di cono (vedi figura sopra)

ρ = 2·a/√2 = raggio di base superiore = √2·a

r = 3·a/√2 = raggio di base inferiore = 3·√2·a/2

Per il cono quindi si può scrivere:

h/(√2·a) = (h + Η)/(3·√2·a/2)

Mentre il tronco di cono ha altezza:

Η = √(a^2 - (1/2·(3·a - 2·a))^2)

Η = √3·a/2

Quindi ricaviamo h:

h/(√2·a) = (h + √3·a/2)/(3·√2·a/2)

h = √3·a

Quindi:

v = volume tronco di cono= 1/3·(pi·r^2)·(√3·a + √3·a/2) - 1/3·(pi·ρ^2)·(√3·a)

v = a·(√3·pi·r^2/2 - √3·pi·ρ^2/3)

v = a·(√3·pi·(3·√2·a/2)^2/2 - √3·pi·(√2·a)^2/3)

v = 19·√3·pi·a^3/12

 

Nel disegno, x è lo spigolo minore, y il maggiore, a l'apotema 
Con y-x indico le due parti laterali di spigolo che fanno da basi per calcolare l'area dei triangolini, e con ax l'area dei rettangoli sulla sup. laterale

Impostiamo quindi i calcoli

Fin qui abbiamo determinato i valori dei lati di base.

Il tronco di cono tocca quello di piramide lungo i 4 spigoli, perciò ha evidentemente i diametri inferiore e superiore uguali alle diagonali dei quadrati, rispettivamente 3rad2a l'inferiore e 2rad2a il superiore. 
Calcoliamone l'altezza, uguale a quella del tronco di piramide. Usiamo il teorema di Pitagora tra apotema, a, e semidifferenza tra spigolo maggiore e minore, 1/2*(3a-2a) = 1/2a.
Quindi h = rad[a^2-(1/2a)^2] che ci dà rad3/2*a 

Ora, il volume del tronco di cono si calcola con la formula V = 1/3*pi*h*(r1^2 + r2^2 + r1*r2).
I raggi sono la metà di ciascun diametro determinato prima, cioè 3/2rad2 e rad2 

Ed eccoci con la soluzione!  Ciao 😀