[Risolto] geometria euclidea e pitagora

RIPASSO
Nel triangolo rettangolo ABC non degenere le misure dei lati sono
* 0 < (a = |BC|) <= (b = |AC|) < c = |AB| = √(a^2 + b^2)
e, con H piede dell'altezza relativa all'ipotenusa, si ha
* h = |CH| = a*b/c
* p = |AH| = b^2/c (proiezione di b, Euclide I)
* q = |BH| = a^2/c (proiezione di a, Euclide I)
moltiplicando le due ultime membro a membro si ottiene Euclide II
* p*q = h^2
invece sommandole si ottiene Pitagora
* p + q = c = b^2/c + a^2/c ≡ c*c = b^2 + a^2
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ESERCIZIO 28
L'incognita è il perimetro x = a + b + c in centimetri, da calcolare in base ai dati:
a) uno fra p e q vale (2/5)*√5 = 2/√5 volte il suo cateto;
b) l'altro vale (4/5)*√5 = 4/√5 cm.
Quindi, in cm,
* (p = b^2/c = 4/√5) & (q/a = a/c = 2/√5) oppure (q = a^2/c = 4/√5) & (p/b = b/c = 2/√5)
da cui
* (b^2/c = 4/√5) & (a/c = 2/√5) & (x = a + b + c) & (0 < a <= b < c = √(a^2 + b^2)) ≡
≡ sistema incompatibile
oppure
* (a^2/c = 4/√5) & (b/c = 2/√5) & (x = a + b + c) & (0 < a <= b < c = √(a^2 + b^2)) ≡
≡ (a = 4) & (b = 8) & (c = 4*√5) & (x = 4*(3 + √5))
che è proprio il risultato atteso.

In un triangolo rettangolo la proiezione del cateto C2 sull'ipotenusa è 2/5*C2*√5, mentre la proiezione dell'altro cateto è lunga 4√5/5 cm . Determina il perimetro 2p del triangolo.

h^2 = 2/5*C2*√5 * 4√5/5 = 40C2/25  (Euclide 2°)

C2 = √p2^2+h^2 = √40*C2/25+20*C2^2/25  (Pitagora)

25*C2^2 = 40*C2+20*C2^2

5*C2^2 = 40*C2

C2 = 8 cm 

p2 = 16/5*√5

ipotenusa i = p1+p2 = 4/5*√5+16/5*√5 = 20/5*√5 = 4√5 cm

C1 = √i^2-C2^2 = √80-64 = √16 = 4 cm  (Pitagora)

perimetro 2p = C1+C2+i = 4+8+4√5 = 12+4√5 cm