Il cubo a fianco ha lo spigolo di $6 \mathrm{~cm}$. Considera la piramide DMNV di vertice $V$.
a. Spiega perché non è retta.
b. Verifica che tutte le sue facce sono triangoli isosceli.
c. Calcola l'area della sua superficie totale e il suo volume.
d. Calcola la distanza del punto $\mathrm{D}$ dal piano $M N V$.
$$
\text { [c) } \left.\left.(27+9 \sqrt{21}) \mathrm{cm}^{2}, 27 \mathrm{~cm}^{3} ; \mathrm{d}\right) 6 \mathrm{~cm}\right]
$$
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Livello 1
Ciao @dan2004
Vedi intanto quanto segue.
Facciamo quindi riferimento ad un sistema di assi cartesiani ortogonali con origine in D.
La base quindi ha spigoli:
DM=DN= √(3^2 + 6^2) = 3·√5 cm è quindi un triangolo isoscele
MN= √(3^2 + 3^2) = 3·√2 cm
-----------------------------
Gli spigoli laterali hanno dimensioni:
DV= √(3^2 + 3^2 + 6^2) = 3·√6 cm
MV = √((3 - 6)^2 + (3 - 3)^2 + (6 - 0)^2) = 3·√5 cm
NV= √((3 - 3)^2 + (6 - 3)^2 + (0 - 6)^2) = 3·√5 cm
Quindi le tre facce laterali sono triangoli isosceli con due lati uguali a 3·√5
----------------------------------
Calcolo dell'area di base e del volume:
semiperimetro=p=(3·√5 + 3·√5 + 3·√2)/2 = (3·√5 + 3·√2/2) cm
A = √((3·√5 + 3·√2/2)·(3·√2/2)·(3·√2/2)·(3·√5 - 3·√2/2)) cm^2
A = 27/2 cm^3
V = 1/3·(27/2)·6 = 27 cm^3
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Genius III
@lucianop ...problema intrigante per :
# il calcolo dell'apotema della faccia maggiore
# il calcolo della distanza del vertice D dal piano MNV
Felice Domenica , amico mio !!!
Ricambio gli auguri. Ciao da Luciano.
@lucianop ...non avevo salvato le correzioni : ora è OK
calcolo di Os (con riferimento alla figura 2)
Os^2 = OM^2-sM^2
Os^2 = DO^2-(3√5-sM)^2
uguagliando le 2 :
3^2-sM^2 = (3√2-(3√5-sM)^2
9-sM^2 = 18-(45+sM^2-6sM√5)....sM^2 si semplifica
9-18+45 = 6sM√5
36 = 6sM√5
sM = 36/(6*√5) = 6/√5
Os^2 = 3^2-sM^2 = 9-36/5 = 9/5
con riferimento alle figure 1 e 2
apotema a = √6^2+Os^2 = √36+9/5 = 3√21/√5
apotema a' = √6^2+Or^2 = √36+9/2 = (9/2)√2
area laterale Al = 3√5*3√21/√5+3√2*(9/4)√2 = (9√21+27/2) cm^2
area base Ab = 3√2* 6√2 * 3/8 = 27/2
area totale = Al+Ab = (9√21+27) cm^2
Volume V = Ab*h/3 = 27/2*6/3 = 27,0 cm^3
distanza del punto D dal piano MNV (con riferimento alla fig. 3)
dal raffronto di due triangoli simili si ha :
d = 12/2 = 6,0 cm
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Genius III
