Determina l'equazione della parabola passante per $A(1,0)$ e $B(3,0)$ tale che l'area del quadrilatero avente per vertici i punti $A$ e $B$, il vertice della parabola stessa e il suo punto di intersezione conl'asse $y$ abbia area 8 .
$$
[y= \pm 2(x-1)(x-3)]
$$
Ho diviso il quadrilatero in due triangoli e dopo aver imposto che la loro somma=8 ho messo a sistema quest’ultima equazione con y=a+B+c e y=9a+3b+c
72
punti
Livello 1
La specificazione "il suo punto d'intersezione con l'asse y", al singolare, esprime la condizione che la richiesta parabola Γ abbia asse parallelo all'asse y e quindi equazione
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2 ≡ y = a*(x - X1)*(x - X2)
dove si evidenziano
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
* zeri X1, X2
------------------------------
Le condizioni di passaggio per gli zeri impongono vincoli sui parametri
* per A(1, 0): 0 = h + a*(1 - w)^2
* per B(3, 0): 0 = h + a*(3 - w)^2
il cui sistema dà due dei tre parametri
* (0 = h + a*(1 - w)^2) & (0 = h + a*(3 - w)^2) & (a != 0) ≡
≡ (w = 2) & (h = - a)
da cui
* vertice V(2, - a)
* Γ ≡ y = a*((x - 2)^2 - 1) ≡ y = a*(x - 1)*(x - 3)
* Y(0, 3*a)
dove si evidenziano ordinate discordi fra Y e V.
------------------------------
L'area S del quadrilatero AYBV è quindi la somma di quelle di due triangoli di base |AB| = 2 e di altezze |3*a| e |a|
* S(AYBV) = S(AYB) + S(ABV) = |AB|*|4*a|/2 = 4*|a|
che vale otto per
* |a| = 2 ≡ a = ± 2
da cui
* vertice V(2, ∓ 2)
* Γ ≡ y = ± 2*((x - 2)^2 - 1) ≡ y = ± 2*(x - 1)*(x - 3)
* Y(0, ± 6)
57798
punti
Genius I
@exprof grazie
