geometria analitica aiuto per favore

Con integrali

y = 5 - x = f(x)-----> y^2= (5 - x)^2 = x^2 - 10·x + 25

Quindi calcolo l'integrale:

∫(pi·(x^2 - 10·x + 25)) dx = pi·x·(x^2 - 15·x + 75)/3

valutato da x=1 ad x=4

pi·4·(4^2 - 15·4 + 75)/3=124·pi/3

pi·1·(1^2 - 15·1 + 75)/3 = 61·pi/3

Vx=124·pi/3 - 61·pi/3 = 21·pi

Senza integrali

Vx = 1/3·(pi·4^2)·4 - 1/3·(pi·1^2)·1

Vx = 21·pi

(differenza di volumi fra due coni)

Calcolo di Vy senza integrali

Cilindro bucato 

pi·4^2·1 - pi·1^2·1 = 15·pi

Tronco di cono bucato

1/3·(pi·4^2)·4 - 1/3·(pi·1^2)·1 - pi·1^2·3 = 18·pi

Sommo i due volumi:

Vy = 15·pi + 18·pi = 33·pi

Calcolo dei volumi con semplici considerazioni geometriche

Con riferimento alla figura dell'amico  Luciano che ringrazio e saluto 

a) Rotazione attorno all'asse y

detto "vuoto" il volume mancante al pieno del rettangolo ruotato :

V = (4*(4^2-1^2))-vuoto)*π 

V = π*(4*15-27,00) = 33,00*π u^3

oppure come somma e/o differenza di volumi parziali :

a.1 cilindro bucato sottostante 

V1 = π*(4^2-1)*1 = 15*π u^3

a.2 tronco di cono intero

V2 = π/3*(4^2*4-1^2*1) = 21*π u^3

a.3 buco del tronco di cono 

V3 = π*1^2*3 = 3π u^3

volume totale V = V1+V2-V3 = π(15+21-3) = 33*π u^3

b) rotazione attorno all'asse x 

è un tronco di cono pari alla differenza tra due coni :

V = π/3*(4^2*4-1^2*1) = 21,0*π u^3