data l equazione x^2+y^2-2kx-3k=0determina per quali valori di k esso rappresenta:
1
punto
Livello 0
Il fascio di circonferenze, con {k, x, y} ∈ R,
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 - 2*k*x - 3*k = 0 ≡ (x - k)^2 + y^2 = (√(k^2 + 3*k))^2
ha
* centro C(k, 0)
* raggio r(k) = √(k^2 + 3*k)
quindi può generare tutt'e tre i tipi di circonferenza come dalla seguente distinzione di casi
* per k < - 3: circonferenze reali non degeneri.
* per k = - 3: circonferenza reale degenere sul centro C(- 3, 0).
* per - 3 < k < 0: circonferenze immaginarie, con raggio negativo.
* per k = 0: circonferenza reale degenere sul centro C(0, 0).
* per k > 0: circonferenze reali non degeneri.
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) ∀ k ∈ R rappresenta comunque una circonferenza, di un tipo o dell'altro.
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b) (1 - k)^2 + 1^2 = (√(k^2 + 3*k))^2 ≡ k = 2/5
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c) C(k, 0) ∈ x + y = - 2 ≡ k + 0 = - 2 ≡ k = - 2
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d) √(k^2 + 3*k) = √10 ≡ (k = - 5) oppure (k = 2)
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e) Per staccare una corda lunga 2*√2 sulla retta secante
* s ≡ x + y + 2 = 0 ≡ y = - x - 2
occorre che il sistema "s & Γ(k)" abbia soluzioni reali, distinte e a distanza 2*√2.
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* s & Γ(k) ≡ (y = - x - 2) & ((x - k)^2 + y^2 = (√(k^2 + 3*k))^2) ≡
≡ P((k - 2 - √(k^2 + 2*k - 4))/2 , (- k - 2 + √(k^2 + 2 k - 4))/2)
oppure
≡ Q((k - 2 + √(k^2 + 2*k - 4))/2 , (- k - 2 - √(k^2 + 2 k - 4))/2)
--------
* |PQ| = d(k) = √(2*(k^2 + 2*k - 4)) = 2*√2 ≡
≡ √(k^2 + 2*k - 4) = 2 ≡
≡ (k = - 4) oppure (k = 2)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D-x-2%2C%28x--4%29%5E2%3D4-y%5E2%2C%28x-2%29%5E2%3D10-y%5E2%5D
52291
punti
Genius I
@exprof , sto avendo difficoltà nell'ultimo quesito. Se metto a sistema l' equazione iniziale della circonferenza e la retta, ottengo una eq. di secondo grado in K. Come dovrei procedere?
Se le è possibile usare la scrittura in Latex mi sarà più agevole capire i passaggi.
Grazie mille!
@exprof , Dal sistema ottengo una equazione, il cui discriminante è: $k^2+10k-4$
Buona sera, sto avendo problemi a capire la risoluzione dell'ultimo quesito.
Ho messo a sistema l'equazione parametrica della circonferenza con la retta e poi ho calcolato il discriminante e l'ho posto maggiore di zero; così ho una equazione in K posta maggiore di zero. A questo punto non so come continuare.
Grazie mille per l'aiuto
88
punti
Livello 1
