[Risolto] Geometria analitica

La retta su cui giace l'altezza condotta da un vertice di un triangolo sulla retta degli altri due è la perpendicolare a quest'ultima che passa per quel vertice.
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Per trovarne l'equazione devi aver appreso, aver ben compreso e saper applicare a un caso concreto:
1) come scrivere l'equazione della retta congiungente due punti;
2) come scrivere l'equazione del fascio improprio ortogonale a una retta data;
3) come identificare, in un fascio improprio dato, la retta per un punto dato.
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Se tu nella tua domanda non dici su quale punto hai difficoltà, e quali esse siano, non puoi attenderti una risposta "su misura": riceverai o risposte generiche o svolgimenti pronti da copiare di cui capirai poco e perciò, al prossimo esercizio, ti troverai a punto e da capo.
Io opto per la risposta generica.
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1) La retta AB congiungente due dati punti A(a, p) e B(b, q) è
* per a = b: AB ≡ x = a
* per p = q: AB ≡ y = p
* per (p = k*a) & (q = k*b): AB ≡ y = k*x
* per a != b: AB ≡ y = ((p - q)/(a - b))*x + (a*q - b*p)/(a - b)
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2) Il fascio improprio p(k), ortogonale alla retta r data, è
* per r ≡ x = a: p(k) ≡ y = k
* per r ≡ y = a: p(k) ≡ x = k
* per (r ≡ y = m*x + q) & (m != 0): p(k) ≡ y = k - x/m
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3) Dati il fascio improprio p(k) e il punto P(u, v) la retta h di p(k) per P s'identifica dal vincolo d'appartenenza
* per p(k) ≡ y = k: h ≡ y = v
* per p(k) ≡ x = k: h ≡ x = u
* per (p(k) ≡ y = k - x/m) & (m != 0): v = k - u/m ≡ k = v + u/m → h ≡ y = v - (x - u)/m
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ESEMPIO
Nel triangolo di vertici
* A(0, 1), B(4, 1), C(1, 3)
la retta congiungente A e B è
* AB ≡ y = 1
il cui fascio ortogonale è
* p(k) ≡ x = k
la cui retta per C, su cui giace l'altezza, è
* per p(k) ≡ x = k: h ≡ x = 1
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Le altre due te le calcoli da te, vero?

Ne svolgo una e poi tu fai le altre - basta permutare i vertici. Altezza relativa a BC

mBC = (yC - yB)/(xC - xB) = (3 - 1)/(1 - 4) = - 2/3

m[hBC] = -1/mBC = 3/2

y - 1 = 3/2 x    =>  y = 3/2 x + 1    equazione esplicita

2y - 2 = 3x =>    3x - 2y + 2 = 0    equazione implicita