geometria analitica

Problema:

Dati i punti $A(-6, 6)$ e $C(6, -2)$, determina i due vertici $B$ e $D$ del rombo $ABCD$ avente come perimetro $\frac{4}{\sqrt{65}}$, indicando con $D$ il vertice nel primo quadrante. Determina l'area del rombo e il raggio della circonferenza inscritta nel rombo.

Soluzione:

Faccenda sistemata da @gabo .

Un tale rombo non può esistere. 

(Controlla i dati forniti)

Se $\overline{AC}$ è un lato del rombo, una semplice verifica porta a concludere che $\overline{AC}=4\sqrt{13}$, mentre $\ell = \dfrac{P}{4}= \dfrac{4}{4\sqrt{65}} = \dfrac{1}{\sqrt{65}}$. Chiaramente $4\sqrt{13} \neq \dfrac{1}{\sqrt{65}}$ (un rombo ha tutti i lati congruenti fra loro).

Se $\overline{AC}$ è una diagonale del rombo allora $\overline{AD}+\overline{CD} > 4\sqrt{13}$, dato che per ipotesi $\overline{AD} = \overline{CD}$, $2\overline{AD} > 4\sqrt{13} \implies \overline{AD} > 2\sqrt{13}$, ma $\ell = \dfrac{1}{\sqrt{65}}$, tuttavia $\dfrac{1}{\sqrt{65}} < 2\sqrt{13}$ che è il valore minimo del lato del rombo. Puoi convincerti di questo considerando la famosa disuguaglianza triangolare, secondo cui la somma di due lati di un triangolo è sempre maggiore del terzo, quindi secondo questa figura $\overline{AD}+\overline{CD} > \overline{AC}$:

Questo perché $\overline{AC}$ è il percorso più corto da $A$ a $C$, quindi ogni altro percorso sarà sicuramente più lungo di $\overline{AC}$ (perché è una deviazione da quest'ultimo) la cui misura è $4\sqrt{13}$, allora è ovvio che $\overline{AD}+\overline{CD} > 4\sqrt{13}$.

SOLUZIONE CON NUOVI DATI

$P=4\sqrt{65}$

Neanche in questo caso $\overline{AC}$ può essere un lato del rombo, quindi è una diagonale. Dal momento che tutti i lati del rombo sono congruenti fra loro, $\overline{AD} = \overline{CD}$. Quindi $D$ (ma anche $B$) si trova sull'asse di $\overline{AC}$ (ricordiamo che l'asse di un segmento è il luogo geometrico di tutti i punti equidistanti dagli estremi del segmento, quindi se $D$ appartiene all'asse del segmento $\overline{AD}=\overline{CD}$).  L'equazione dell'asse è:

$(x-A_x)^2+(y-A_y)^2 = (x-C_x)^2+(y-C_y)^2$

$(x+6)^2+(y-6)^2 =(x-6)^2+(y+2)^2$

Che dopo alcuni calcoli elementari si riduce a $3x-2y+4=0$, quindi $3D_x -2D_y +4=0$.

Sapendo che il lato deve misurare $\ell = \dfrac{P}{4} = \dfrac{4\sqrt{65}}{4} = \sqrt{65}$, possiamo calcolare il lato con il teorema di Pitagora. L'asse di un segmento è anche la retta perpendicolare che passa per il punto medio del segmento (di conseguenza $AMD$ è un triangolo rettangolo), quindi troviamo $M$:

$M_x= \dfrac{A_x+C_x}{2} = \dfrac{-6+6}{2}=0$

$M_y = \dfrac{A_y+C_y}{2}=\dfrac{6-2}{2} =2$

Quindi $M(0,2)$ è il punto medio di $\overline{AC}$.

Allora sappiamo che $\ell^2 = \overline{AM}^2 + \overline{MD}^2$ sapendo che $\ell^2=65$ e avendo prima calcolato la lunghezza di $\overline{AC}$, possiamo dire che $\overline{AM} = \dfrac{\overline{AC}}{2} = \dfrac{4\sqrt{13}}{2}=2\sqrt{13} \implies \overline{AM}^2 = 52$. Calcoliamo $\overline{MD}^2$:

$52+\overline{MD}^2 = 65 \implies \overline{MD} = \sqrt{13}$.

Sappiamo dunque che $(D_x-M_x)^2 + (D_y-M_y)^2 = 13$

$(D_x-0)^2 +(D_y-2)^2 = 13$

Ma sappiamo anche che $3D_x -2D_y +4=0 \implies D_x = \dfrac{2D_y-4}{3}=\dfrac{2}{3}(D_y-2)$ perché $D$ appartiene all'asse di $\overline{AC}$.  Sostituiamo:

$\dfrac{4}{9}(D_y-2)^2 +(D_y-2)^2 = 13$

$\dfrac{13}{9}(D_y-2)^2 = 13$

$(D_y-2)^2=9$

$D_y=2 \pm 3$

Dato che $D$ appartiene al primo quadrante, deve avere sia ordinata che ascissa positiva, quindi $D_y=5$. Per ovvi motivi di simmetria, $B_y=2-3=-1$. Ora possiamo calcolare $D_x=\dfrac{2}{3}(D_y-2)=\dfrac{2}{3}(5-2)=2$. Mentre $B_x = \dfrac{2}{3}(B_y-2)=\dfrac{2}{3}(-1-2)=-2$.

Calcoliamo il raggio della circonferenza circoscritta sapendo che deve essere tangente a tutti i lati del rombo, quindi deve avere centro in $M$. Ora calcoliamo la distanza tra $M$ e il lato $\overline{AD}$ per esempio. L'area del rombo puoi calcolarla conoscendo le diagonali, noto $\overline{AC}$, calcoliamo $\overline{BD}=\sqrt{(B_x-D_x)^2+(B_y-D_y)^2}=\sqrt{(-2-2)^2+(-1-5)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. L'area di un rombo è il semiprodotto delle diagonali, quindi $A=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}4\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{13}=52$. Prima troviamo la retta passante per $\overline{AD}$:
$\dfrac{y-A_y}{A_y-D_y} = \dfrac{x-A_x}{A_x-D_x}$ che, ti risparmio i calcoli, risulta essere $x+8y-42=0$.

Ora applichiamo la formula della distanza:
$r=\dfrac{|aM_x+bM_y+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|0+16-42|}{\sqrt{1^2+8^2}} = \dfrac{26}{\sqrt{65}}=\dfrac{26\sqrt{65}}{65}=\dfrac{2}{5}\sqrt{65}$.

Ecco una figura per chiarezza:

pendenza di AC = m' = -2/3

pendenza di BD = m = 3/2

intersezione delle diagonali al punto o di coordinate (0 ,2)

L^2 = 2p/4 = 65

oA^2 = 4^2+6^2 = 52

oD^2 = L^2-oA^2 = 65-52 = 13 , pari a 3^2+2^2

coordinate del punto D = ((0+2) ,(2+3)) = (2 , 5)

coordinate del punto B = ((0-2) ,(2-3)) = (-2 , -1)

raggio r = √52 * √13 / √65 = 2√13 * √13 / (√5 *√13) = 2√65 /5 u 

area A = √52 * 2√13 = (2√13)^2 = 52 u^2