Geometria analitica

$\textbf{a.}$ L'equazione di una circonferenza è della forma $x^2+y^2+ax+by+c=0$, ricorderai che $C_x=-\frac{a}{2}$ e $C_y=-\frac{b}{2}$. Sappiamo che il centro appartiene alla retta $y=x$ ciò significa che $C_x=C_y$, conseguentemente $a=b$. Poi sappiamo che il punto $(0,7)$ appartiene alla circonferenza, quindi vale l'equazione $49+7a+c=0$, e sappiamo anche che il raggio è $r=\sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}-c}=5$, quindi $25=\frac{a^2}{2}-c$ con $c=-7a-49$. Risolviamo per $a$:

$25=\frac{a^2}{2}+7a+49$

$50=a^2+14a+98$

$a^2+14a+48=0$

Da cui $a=-6 \lor a=-8$, scartiamo $a=-8$ perché se $a=-8$ i punti dell'intersezione con l'asse $x$ hanno ascissa positiva (quindi il punto $A$ non apparterrebbe alla circonferenza), quindi $a=b=-6$, mentre $c=-7a-49=-7$.

Allora l'equazione è $x^2+y^2-6x-6y-7=0$.

$\textbf{b.}$

Il punto $A$ ha ordinata $0$ quindi sostituiamo $y=0$ nella nostra equazione per ottenere $x^2-6x-7=0$ da cui $x=7 \lor x=-1$, sappiamo che il punto con ascissa $7$ non è $A$, quindi $A=(-1,0)$.

Calcoliamo il coefficiente angolare della retta passante per $\overline{AC}$:

$m=\frac{3-0}{3+1}=\frac{3}{4}$

Troviamo la $q$ della retta tangente risolvendo per le intersezioni con l'asse $y$ della circonferenza:

$y^2-6y-7=0$

$(y-7)(y+1)=0$ dal grafico si vede chiaramente che $y>3$, quindi $y=7$. In definitiva l'equazione della tangente è $y=\frac{3}{4}x+7$, in forma implicita:

$4y-3x-28=0$.

$\textbf{c.}$

Troviamo prima il punto $E$ ponendo $y=0$ nell'equazione della retta:

$-3x=28$

$x=-\frac{28}{3}$.

Il quadrilatero è un trapezio rettangolo, perché le rette $\overline{AC}$ e la tangente sono parallele e il raggio è sempre perpendicolare alla tangente. La base minore del trapezio è $b=r=h=5$ mentre la base maggiore è la lunghezza $\overline{DE}=\sqrt{(\frac{28}{3})^2+7^2}=\frac{35}{3}$, ricordiamo la formula dell'area del trapezio $A=\frac{(B+b)h}{2}=\frac{(\frac{35}{3}+5)5}{2}=\frac{125}{3}$.

$\textbf{d.}$

Perché il punto $P$ sia interno alla circonferenza la sua distanza dal centro deve essere minore del raggio, quindi:

$(3-h)^2+(3-(h-1))^2<25$

$(3-h)^2+(4-h)^2<25$

$9-6h+h^2+16-8h+h^2<25$

$2h^2-14h<0$

$2h(h-7)<0$

Da cui, per la discordanza dei segni $0<h<7$.

Risoluzione parziale se ho tempo vedrò di finire...

Il punto C , centro della circonferenza ha coordinate: [α, α]

la circonferenza passa da [7, 0]

Deve essere:  r^2 = 25  e quindi:

(α - 7)^2 + α^2 = 25

2·α^2 - 14·α + 24 = 0

2·(α - 3)·(α - 4) = 0

quindi 2 possibilità:  α = 4 ∨ α = 3

Quella coerente con il disegno si ha per C [3,3]

(l'altra ha intersezione con asse delle x per x=1)

(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 25

x^2 + y^2 - 6·x - 6·y - 7 = 0

{x^2 + y^2 - 6·x - 6·y - 7 = 0

{y = 0

soluzione: [x = -1 ∧ y = 0, x = 7 ∧ y = 0]

A [-1, 0]

C [3,3]

Retta AC:

y/(x + 1) = 3/(3 + 1)----> y = 3·x/4 + 3/4

La generica parallela ha equazione che mettiamo a sistema con la circonferenza trovata:

{y = 3/4·x + q

{x^2 + y^2 - 6·x - 6·y - 7 = 0

procediamo per sostituzione:

x^2 + (3/4·x + q)^2 - 6·x - 6·(3/4·x + q) - 7 = 0

25·x^2/16 + 3·x·(q - 7)/2 + q^2 - 6·q - 7 = 0

25·x^2 + 24·x·(q - 7) + (16·q^2 - 96·q - 112) = 0

Δ/4 = 0 condizione di tangenza

(12·(q - 7))^2 - 25·(16·q^2 - 96·q - 112) = 0

(144·q^2 - 2016·q + 7056) - (400·q^2 - 2400·q - 2800) = 0

- 256·q^2 + 384·q + 9856 = 0

risolvo ed ottengo: q = - 11/2 ∨ q = 7

y = 3/4·x + 7  retta tangente

Punto di tangenza:

25·x^2/16 + 3·x·(7 - 7)/2 + 7^2 - 6·7 - 7 = 0

25·x^2/16 = 0----> x=0

D [0,7]