Geometria Analitica

a.

Si tratta di risolvere il sistema composto dalle 6 equazioni che descrivono le due rette r: e s:. Per confronto lo si riduce al sistema

$ \left\{\begin{aligned} 4+2k &= t\\-1-k &=1-t \\2+k &=t \end{aligned} \right. $

La cui soluzione è t = 0  ∧ k = -2

Scegliamo t = 0 lo applichiamo alla prima retta e così troviamo le coordinate del punto di incidenza

H(0, 1, 0)

b.

Sappiamo che 3 vettori complanari non paralleli a due a due necessariamente sono incidenti.

Abbiamo i vettori direzione delle rette r: e s:

$v_r(1, -1, 1)  \; ∧ \; v_s(2, -1, 1) $

come terzo vettore scegliamo $\bar{H P_r}$ dove con $P_r$ indichiamo il punto di partenza della retta r:    

$ w = \bar{H P_r} = P_r - H =(1,2,1) - (0,1,0) = (1, 1, 1)$

Per provare la complanarità calcoliamo il determinante della matrice M composta dai tre vettori. Se il determinante è nullo i tre vettori sono complanari.

$ det M = \begin{vmatrix} 1&1&1\\1&2&1\\0&1&0 \end{vmatrix} = 0$

E' zero perché la terza riga è pari alla prima sottratta dalla seconda

la retta w: avrà equazione vettoriale Pr + t*w ovvero

$ w: \left\{\begin{aligned} x &= 1+ t\\y &=2+t \\z &=1+t \end{aligned} \right. $ 

c. Equazione del piano Π: contenente r: e passante per Q(0,2,-3)

Un punto della retta r: è $P_r(0, 1, 0)$

determiniamo il vettore p

$p =  \bar{P_rQ} = Q - P_r = (0, 2, -3) - ( 0, 1, 0) = (0, 1, -3) $ 

calcoliamo il vettore v_π (vettore direzione del piano) che è  ortogonale al vettore  $ v_r$  e al vettore p

$ v_π = v_r \times p = (1, -1, 1) \times (0, 1, -3) =  (2, 3, 1)$

Il piano avrà quindi la forma

$ Π: 2x+3y+z+d = 0$

Per determinare il parametro d usiamo il fatto che il piano Π: contiene il punto Q(0, 2, -3) per cui

0+6-3+d = 0 ⇒ d = -3

Il piano cercato ha equazione

$ Π: 2x+3y+z-3 = 0$