Geometria analitica

x^2 + y^2 + z^2 = 20

riconosco che:

[0, 0, 0] è il centro

r = √20 ---->  r = 2·√5      è il raggio

x^2 + y^2 + z^2 - 4·x - 8·y - 10·z + 40 = 0

riconosco che:

[2, 4, 5] è il centro

r = √(2^2 + 4^2 + 5^2 - 40)

r = √5  è il raggio

d = √(2^2 + 4^2 + 5^2) 

d = 3·√5 è la distanza fra i due centri

determino l'equazione parametrica della retta passante per i due centri:

[0, 0, 0] e [2, 4, 5]

{x = α·t

{y = β·t

{z = γ·t

poniamo :

t = 0 per le coordinate di [0, 0, 0]

t = 3 per le coordinate di [2, 4, 5]

{x = α·3 = 2

{y = β·3 = 4

{z = γ·3 = 5

da cui:

{α = 2/3

{β = 4/3

{γ = 5/3

Le equazioni parametriche sono:

{x = 2/3·t

{y = 4/3·t

{z = 5/3·t

Quindi il punto di tangenza T si ha per t=2 (che rappresenta 2/3 del percorso come indica il raggio della prima circonferenza (vedi sopra)

{x = 4/3

{y = 8/3

{z = 10/3

T [4/3, 8/3, 10/3]

Risolvo in z la prima superficie sferica:

z = - √(- x^2 - y^2 + 20) ∨ z = √(- x^2 - y^2 + 20)

Quindi in grassetto la funzione che devo considerare per cui si ha:

z'x=- x/√(- x^2 - y^2 + 20)

z'y=- y/√(- x^2 - y^2 + 20)

--------------------------

- 4/3/√(- (4/3)^2 - (8/3)^2 + 20)= - 2/5

- 8/3/√(- (4/3)^2 - (8/3)^2 + 20) =- 4/5

Piano tangente in T

z - 10/3 = - 2/5·(x - 4/3) - 4/5·(y - 8/3)

z = - 2·x/5 - 4·y/5 + 6

in forma implicita:

2·x + 4·y + 5·z - 30 = 0