[Risolto] Geometria analitica

Per valori di h tali che |h| > √2.
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Il fascio
* Γ(h) ≡ x^2 + 2*h*x*y + 2*y^2 + 2*h*y + 3 = 0
per
* x^2 + 2*h*x*y + 2*y^2 = (x - (√2)*y)^2 ≡ h = - √2
* x^2 + 2*h*x*y + 2*y^2 = (x + (√2)*y)^2 ≡ h = + √2
rappresenta due parabole.
Per h fra quei valori rappresenta ellissi, e all'esterno rappresenta iperboli.
Cioè
* h < - √2 ≡ Γ(h) è un'iperbole
* h = - √2 ≡ Γ(h) è una parabola
* - √2 < h < √2 ≡ Γ(h) è un'ellisse
* h = √2 ≡ Γ(h) è una parabola
* h > √2 ≡ Γ(h) è un'iperbole
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MOTIVAZIONE
http://it.wikipedia.org/wiki/Rappresentazione_matriciale_delle_coniche
* I2 = 2 - h^2 < 0 → iperbole
* I2 = 2 - h^2 = 0 → parabola
* I2 = 2 - h^2 > 0 → ellisse

La matriche della conica è:

$A=
\begin{pmatrix}
1 & h & 0 \\
h & 2 & h \\
0 & h & 3
\end{pmatrix}$

mentre
$A_{33}=
\begin{pmatrix}
1 & h \\
h & 2
\end{pmatrix}$

affinchè la conica sia non degenere è necessario che $det(A) \neq 0$

quindi $h^2 \neq \frac{3}{2}$

$h \neq \sqrt{\frac{3}{2}}$ e $h \neq -\sqrt{\frac{3}{2}}$

Per essere un'iperbole è necessario che 

$det(A_{33}) < 0$

ovvero

$2-h^2<0$ e quindi $h^2>2$

se ne deduce che 

$h>\sqrt{2}$ e $h<-\sqrt{2}$