Geometria analitica

Question

E' dato il triangolo A B C in cui: A B= frac {25}{2} ; A C=5  sqrt {5} ;  operatorname {tg}  hat {A}=2 Dopo aver riferito il piano della figura ad un conveniente sistema di assi cartesiania) Scrivere l'equazione della circonferenza;b) Trovare le coordinate dei vertici del triangolo e del punto D in cui la circonferenza interseca il segmento B C;c) Determinare l'equazione della parabola avente l'asse perpendicolare alla retta A B, tangente in D alla circonferenza e passante per A;d) Calcolare le aree delle due regioni in cui la parabola divide il triangolo A B C.     Il punto c. Grazie. [attach]82415[/attach]

LucianoP · Accepted Answer

Sino al punto b), poi vedrò.. [attach]82419[/attach] TAN(α) = 2 = SIN(α)/COS(α) 2 = Υ/Χ = √(1 - Χ^2)/Χ----->√(1 - Χ^2)/Χ = 2 Χ = √5/5 = COS(α) Υ/√(1 - Υ^2) = 2---->Υ = 2·√5/5 = SIN(α) ΑC = 5·√5 ΑΗ = 5·√5·(√5/5)----->ΑΗ = 5 ΗC = 5·√5·(2·√5/5)----->HC = 10 [5, -10] coordinate del centro C della circonferenza r = ΗC = 10 raggio della circonferenza [0, 0] coordinate di A [25/2, 0] coordinate di B [5, -10] coordinate di C retta BC: (y - 0)/(x - 25/2) = (-10 - 0)/(5 - 25/2) (y - 0)/(x - 25/2) = 4/3----> y = 4·x/3 - 50/3 Equazione circonferenza: (x - 5)^2 + (y + 10)^2 = 10^2 x^2 + y^2 - 10·x + 20·y + 25 = 0 Punto D: {x^2 + y^2 - 10·x + 20·y + 25 = 0 {y = 4·x/3 - 50/3 Risolvo ed ottengo:  [x = -1 ∧ y = -18, x = 11 ∧ y = -2] La prima si scarta. Quindi il punto D ha coordinate : [11, -2]

exProf · Answer

Difficile svolgere il punto c, senza aver svolto la
parte precedente!
Nel riferimento Oxy ortogonale levogiro e monometrico definisco
* A(0, 0), B(25/2, 0)
* AC ≡ y = 2*x
* Γ1 ≡ x^2 + y^2 = (5*√5)^2
* AC & Γ1 ≡ (y = 2*x) & (x^2 + y^2 = (5*√5)^2) ≡ (- 5, - 10) oppure C(5, 10)
da cui
* Γ2 ≡ (x - 5)^2 + (y - 10)^2 = 10^2 (punto a)
* BC ≡ 4*x + 3*y = 50
* BC & Γ2 ≡ (4*x + 3*y = 50) & ((x - 5)^2 + (y - 10)^2 = 10^2) ≡ (- 1, 18) oppure D(11, 2)
Punto c
Parabola con asse ortogonale ad AB
* Γ3 ≡ y = h + a*(x - w)^2
passante per A e per D
* (0 = h + a*(0 - w)^2) & (2 = h + a*(11 - w)^2) ≡
≡ (h = - (121*a - 2)^2/(484*a)) & (w = (121*a - 2)/(22*a))
da cui
* Γ3 ≡ y = a*(x - (121*a - 2)/(22*a))^2 - (121*a - 2)^2/(484*a)
tangente in D a Γ2
* Γ2 ≡ y = 10 - √((x + 5)*(15 - x)), poiché yD < yC
* m2(x) = dy/dx = (x - 5)/√((x + 5)*(15 - x))
* Γ3 ≡ y = a*(x - (121*a - 2)/(22*a))^2 - (121*a - 2)^2/(484*a)
* m3(x) = dy/dx = a*(2*x - 11) + 2/11
La condizione di tangenza di due curve in un punto comune è che ivi abbiano pari pendenza
* m2(11) = m3(11) ≡ (11 - 5)/√((11 + 5)*(15 - 11)) = a*(2*11 - 11) + 2/11 ≡
≡ a = 25/484
* Γ3 ≡ y = (25/484)*(x - (121*(25/484) - 2)/(22*(25/484)))^2 - (121*(25/484) - 2)^2/(484*(25/484)) ≡
≡ y = (25/484)*(x - 187/50)^2 - 289/400
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28y-10%29%5E2%3D100-%28x-5%29%5E2%2Cy%3D%2825%2F484%29*%28x-187%2F50%29%5E2-289%2F400%5D
Punto d (extra! non compreso nella richiesta)
Il triangolo ABC di vertici
* A(0, 0), B(25/2, 0), C(5, 10)
isoscele sulla base AC, ha area S(ABC) = (xB - xA)*(yC - yA)/2 = 125/2 e interseca Γ3 in
* A(0, 0), X(187/25, 0), D(11, 2)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By*%28y-2*x%29*%28-2*%282*x-25%29%2F3-y%29%3D0%2Cy%3D%2825%2F484%29*%28x-187%2F50%29%5E2-289%2F400%5Dx%3D-1to13%2Cy%3D-1to11
Il triangolo XBD di vertici
* X(187/25, 0), B(25/2, 0), D(11, 2)
ha area S(XBD) = (xB - xX)*(yD - yX)/2 = 251/50
Il segmento parabolico delimitato dalla corda XD ha area
* S(sp) = |a|*(xD - xX)^3/6 = |25/484|*(11 - 187/25)^3/6 = 704/1875
Quindi il triangolino mistilineo XBD ha area
* S(tm) = S(XBD) - S(sp) = 251/50 - 704/1875 = 17417/3750
e il grosso del triangolo ABC che ne fa la seconda parte è la differenza
* S(ABC) - S(tm) = 125/2 - 17417/3750 = 108479/1875

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02/06/2024 10:29

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