[Risolto] Geometria analitica

[4, 0] punto A

[2, 0] punto B

retta r per B : m =-4/3

y = - 4/3·(x - 2)-----> y = 8/3 - 4·x/3

[4, β] centro circonferenze

(x - 4)^2 + (y - β)^2 = β^2

(r^2= β^2)

x^2 + y^2 - 8·x - 2·β·y + 16 = 0

Quindi sistema:

{x^2 + y^2 - 8·x - 2·β·y + 16 = 0

{y = 8/3 - 4·x/3

procedo per sostituzione:

x^2 + (8/3 - 4·x/3)^2 - 8·x - 2·β·(8/3 - 4·x/3) + 16 = 0

25·x^2/9 + 8·x·(3·β - 17)/9 - 16·(3·β - 13)/9 = 0

25·x^2 + 8·x·(3·β - 17) - 16·(3·β - 13) = 0

Δ/4 = 0 condizione tangenza

(4·(3·β - 17))^2 + 25·16·(3·β - 13) = 0

144·β^2 - 432·β - 576 = 0

144·(β + 1)·(β - 4) = 0

β = 4 ∨ β = -1

circonferenza superiore:

x^2 + y^2 - 8·x - 2·4·y + 16 = 0

x^2 + y^2 - 8·x - 8·y + 16 = 0

circonferenza inferiore:

x^2 + y^2 - 8·x - 2·(-1)·y + 16 = 0

x^2 + y^2 - 8·x + 2·y + 16 = 0

Punto D

25·x^2 + 8·x·(3·4 - 17) - 16·(3·4 - 13) = 0

25·x^2 - 40·x + 16 = 0

(5·x - 4)^2 = 0-----> x = 4/5

y = 8/3 - 4·(4/5)/3---> y = 8/5

[4/5, 8/5]

Punto D'

25·x^2 + 8·x·(3·(-1) - 17) - 16·(3·(-1) - 13) = 0

25·x^2 - 160·x + 256 = 0

(5·x - 16)^2 = 0---> x = 16/5

y = 8/3 - 4·(16/5)/3---> y = - 8/5

[16/5, - 8/5]

'

Ogni circonferenza non degenere tangente l'asse x in A(4, 0) e di raggio r = |k| > 0 ha centro C(4, k) ed equazione
* Γ(k) ≡ (x - 4)^2 + (y - k)^2 = k^2
il cui luogo dei centri è, ovviamente, la retta x = 4.
Affinché una Γ(k) possa tangere anche la retta r per B(2, 0)
* r ≡ y = 4*(2 - x)/3
occorre che la sua distanza dall'asse x, |k|, eguagli quella dalla r
* |Cr| = |3*k + 8|/5 = |k| ≡ (k = - 1) oppure (k = 4)
da cui
* C1(4, - 1)
* Γ1 ≡ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 1
* C2(4, 4)
* Γ2 ≡ (x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 16
-----------------------------
* r & Γ1 ≡ (y = 4*(2 - x)/3) & ((x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 1) ≡ D1(16/5, - 8/5)
* r & Γ2 ≡ (y = 4*(2 - x)/3) & ((x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 16) ≡ D2(4/5, 8/5)
-----------------------------
L'indicato quadrilatero con la successione di vertici
* C1(4, - 1), D1(16/5, - 8/5), D2(4/5, 8/5), C2(4, 4)
risulta, fatti i debiti calcoletti, un trapezio rettangolo di lati sulle rette
* y = 3*x/4 - 4
* y = - (4/3)*(x - 2)
* y = 3*x/4 + 1
* x = 4
di perimetro p = 14 ed area S = 10
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Il triangolo di vertici
* D1(16/5, - 8/5), A(4, 0), D2(4/5, 8/5)
ha lati di lunghezze (4/√5, 8/√5, 4)
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Il triangolo di vertici
* C1(4, - 1), B(2, 0), C2(4, 4)
ha lati di lunghezze (√5, 2*√5, 5)
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L'eguaglianza dei rapporti
* (4/√5)/√5 = (8/√5)/(2*√5) = 4/5 = λ
verifica l'assunto.