[Risolto] GEOMETRIA AIUTO

$Primo$ $esercizio$

Prima di dimostrare il primo dei seguenti enunciati cerchiamo prima di capire cosa intendiamo con $equivalenza$ $di$ $figure$ $piane$. Due figure piane si dicono equivalenti ( o equiestese ) se hanno la stessa estensione nel piano. In un linguaggio meno formalizzato potremo dire che due figure piane sono equivalenti se e solo se hanno la stessa area. Una osservazione importante su questo concetto è che due figure piane possono essere allo stesso tempo equivalenti e non essere congruenti ( cioè è possibile sovrapporre le due figure attraverso un movimento rigido dei lati ).

Fatte queste premesse dimostriamo il primo degli enunciati. Ciò che dobbiamo andare a dimostrare è rappresentato nella seguente figura :

In poche parole : Il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa risulta essere equivalente al rettangolo che ha per dimensioni $HB$ e $CH$ come in figura.  Quello che sappiamo è :

$AB^{2}$  $-$  $HB^{2}$  $=$  $AH^{2}$  $\bigl($ $Teorema$ $di$ $Pitagora$ $\bigr)$

dunque quello che dobbiamo fare è provare la seguente uguaglianza  $AH^{2}$  $=$  $CH$ $\cdot$ $HB$. Per farlo possiamo sfruttare oltre al teorema di Euclide anche il famoso teorema di Pitagora. Vediamo come. Cominciamo ad osservare che :

Il teorema di Pitagora applicato al triangolo $AHB$ :

$AH^{2}$  $+$  $HB^{2}$  $=$  $AB^{2}$

Il teorema di Pitagora applicato al triangolo $AHC$ :

$CH^{2}$  $+$  $AH^{2}$  $=$  $AC^{2}$

Il teorema di Pitagora applicato al triangolo $ABC$ :

$AB^{2}$  $+$  $AC^{2}$  $=$  $BC^{2}$

Dunque sostituendo nei vari campi otteniamo che :

$\bigl($ $AH^{2}$  $+$  $HB^{2}$ $\bigr)$ $+$ $\bigl($ $CH^{2}$  $+$  $AH^{2}$ $\bigr)$ $=$ $BC^{2}$

Ma $BC$ $=$ $CH$ $+$ $BH$.  Dunque:

$\bigl($ $AH^{2}$  $+$  $HB^{2}$ $\bigr)$ $+$ $\bigl($ $CH^{2}$  $+$  $AH^{2}$ $\bigr)$ $=$ $\bigl($ $CH$ $+$ $BH$ $\bigr)^{2}$

Eliminando i quadrati al primo e al secondo membro otteniamo :

$AH^{2}$  $+$  $\cancel{ HB^{2} }$  $+$  $\cancel{ CH^{2} }$  $+$  $AH^{2}$  $=$  $\cancel{ CH^{2} }$  $+$ $2CH$$\cdot$$BH$  $+$  $\cancel{ BH^{2} }$

$2AH^{2}$  $=$  $2CH$$\cdot$$BH$

Ossia

$AH^{2}$  $=$  $CH$$\cdot$$BH$

Con ciò abbiamo provato l'equivalenza e concludiamo la dimostrazione.

 

 

$Secondo$ $esercizio$

Per quando riguarda il secondo esercizio possiamo facilmente arrivare alla soluzione applicando le formule dirette e inverse di un rombo.

Sappiamo per ipotesi che una circonferenza è inscritta in un rombo e ogni lato del rombo è diviso dal punto di tangenza in due segmenti lunghi $1$ $cm$ e $3$ $cm$. Per calcolare la lunghezza del raggio possiamo sfruttare ancora una volta il secondo teorema di Euclide. Dunque osservando la seguente figura possiamo notare che il raggio della circonferenza rappresenta in realtà l'altezza del triangolo $AOB$.

Facendo abuso di un linguaggio formalizzato possiamo dire che :

$r^{2}$  $=$  $OH^{2}$  $=$  $BH$$\cdot$$AH$  $\iff$  $r^{2}$  $=$  $3$ $cm$ $\cdot$ $1$ $cm$  dunque :

$r$  $=$  $\sqrt{3}$ $cm$

D'altra parte per calcolare le nostre diagonali possiamo sfruttare il primo teorema di Euclide e cioè :

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su uno dei due cateti è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa. Questo significa che

$AO^{2}$  $=$  $AB$ $\cdot$ $HB$  $=$  $4$ $cm^{2}$  $\Longrightarrow$ $AO$  $=$  $2$ $cm$  $\Longrightarrow$ $diagonale$ $maggiore$  $=$  $AC$  $=$  $4$ $cm$

A questo punto calcolare la seconda diagonale risulta essere semplice poiché l'area del rombo è :

$Area$ $Rombo$ $=$ $8$ $\cdot$ $\sqrt{3}$ $cm^{2}$   dunque   $diagonale$ $maggiore$   $=$   $\displaystyle\frac{ 16 \cdot \sqrt{3} }{ 4 }$ $cm$ $=$  $4$ $\cdot$ $\sqrt{3}$ $cm$