Geometria 3

Rombo di base del prisma:

diagonale maggiore $D= \sqrt{2A : \frac{3}{4}} = \sqrt{2×96 × \frac{4}{3}}= \sqrt{256}=16~cm$ (formula inversa dell'area del rombo posta sotto radice per via del dato espresso in forma di rapporto);

diagonale minore $d= \frac{2A}{D}=\frac{2×96}{16} = 12~cm$ (formula inversa dell'area del rombo);

lato $l= \sqrt{\big(\frac{D}{2}\big)^2+\big(\frac{d}{2}\big)^2}=\sqrt{\big(\frac{16}{2}\big)^2+\big(\frac{12}{2}\big)^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10~cm$ (teorema di Pitagora);

perimetro $2p= 4l = 4×10 = 40~cm$.

Prisma:

perimetro di base $2p_b= 40~cm$;

area laterale $Al= At-2Ab= 1152-2×96 = 1152-192= 960~cm^2$;

altezza $h= \frac{Al}{2p_b}=\frac{960}{40}=24~cm$ (formula inversa dell'area laterale);

volume $V= Ab×h = 96×24 = 2304~cm^3$.

Area laterale prisma   Sl = St - 2 Sb = (1152 - 2*96) cm^2 = 960 cm^2

Essendo  Sl = Pb * h ci occorre   Pb = 4 Lb

Le diagonali sono 3 u e 4 u   

Sb = 3 * 4/2 u^2 = 96 cm^2

u^2 = 16 cm^2

u = 4 cm

Quindi D = 16 cm e d = 12 cm

le semidiagonali sono allora 8 cm e 6 cm

Dal Teorema di Pitagora

Lb^2 = (8^2 + 6^2) cm^2 = 100 cm^2

Lb = 10 cm => Pb = 40 cm

h = Sl / Pb = 960/40 = 24 cm

V = Sb*h = 96 * 24 cm^3 = 2304 cm^3

1/2·(3/4·x^2) = 96----> x = 16 cm diagonale maggiore di base

3/4·16 = 12----> 3/4·16 = 12 cm diagonale minore di base

Area laterale= 1152 - 2·96 = 960 cm^2

Spigolo di base con Pitagora=  √((16/2)^2 + (12/2)^2) = 10 cm

perimetro laterale o di base= 10·4 = 40 cm

Altezza prisma= h = 960/40 = 24 cm

Volume= v = 96·24 =2304 cm^3 

Un rombo avente l'area A di 96 cmq e la diagonale d2 = 3d1/4  costituisce la base di un prisma retto. L'area totale del prisma è Ap = 1152cmq. Calcola il volume

rombo

d1*3d1/4 = 192

d1 = √192*4/3 = 16 cm

d2 = 16*3/4 = 12 cm 

lato L = √8^2+6^2 = 10 cm 

perimetro 2p = 10*4 = 40 cm 

prisma

altezza h = (At-2A)/2p = (1152-192)/40 = 24,0 cm

volume V = A*h = 96*24 = 2304 cm^3

Misure in cm, cm^2, cm^3.
Volume del prisma retto: V = B*h
Area di base: B = 96
Altezza: h = S/p
Area della superficie laterale: S = T - 2*B = T - 192
Area della superficie totale: T = 1152
Perimetro di base: p = 4*L
Lato di base: L
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Ricomponendo il tutto si ha
* V = B*h = 96*S/p = 96*(T - 192)/(4*L) = 96*(1152 - 192)/(4*L) ≡
≡ V = 23040/L
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Il lato del rombo si ricava dai due dati (B = 96; una diagonale 3/4 dell'altra: a = (3/4)*b) e dalle proprietà del rombo:
* B = a*b/2 = (3/8)*b^2
* L = √(a^2 + b^2)/2 = (5/8)*b
infatti si ha
* B = (3/8)*b^2 = 96 ≡ b = 16
da cui
* L = (5/8)*b = 10
* V = 23040/L = 2304