Geometria

DIMOSTRAZIONE PRELIMINARE

Dimostriamo prima di tutto che se $SPQR$ è un quadrato, necessariamente $\overline{PQ} \perp \overline{BC}$.

Guarda l'immagine per seguire la dimostrazione.
Tracciamo la diagonale $\overline{SQ}$ del rettangolo $SPQR$, la quale forma un angolo $\alpha$ con $\overline{SR}$ e un angolo $\gamma$ con $\overline{HK}$. Tracciando la parallela a $\overline{HK}$ passante per $Q$ si individua il punto $E$ su $\overline{HR}$. Detto $\beta$ l'angolo $\widehat{SHK}$, si ottiene che $\widehat{SEQ} \cong \beta$, perché $\overline{EQ} \parallel \overline{HK}$. Consideriamo l'angolo $\overline{REQ}=180^{\circ}-\beta$ e calcoliamo $\theta=\widehat{RQE}$. Dato che la somma degli angoli di un triangolo qualunque è uguale ad un angolo piatto, diciamo che:

$\theta + 90^{\circ}+180^{\circ}-\beta=180^{\circ}$

$\theta=\beta-90^{\circ}$

Dato che $SPQR$ dev'essere un quadrato, quindi $\alpha \cong \theta + \gamma = 45^{\circ}$

Allora abbiamo che $90^{\circ}-\beta+\gamma=45^{\circ}$ e che $45^{\circ}+\beta+\gamma=180^{\circ}$. Mettiamo a sistema:

$\begin{cases} \beta - \gamma = 45^{\circ} \\ \beta + \gamma = 135^{\circ} \end{cases}$

Sommando la prima alla seconda otteniamo $2\beta =180^{\circ} \implies \beta=90^{\circ}$.

Come volevasi dimostrare.

SOLUZIONE

Sapendo che $\overline{BC}=6a$, possiamo trovare per differenza che la misura di $\overline{HK}$ è $\overline{HK} = \overline{BC}-2x=6a-2x$. Dato che $\overline{BC} \perp \overline{PQ}$ e $\overline{PS} \perp \overline{PQ}$, necessariamente $\overline{PS} \parallel \overline{BC}$, quindi $HKPS$ è un rettangolo, pertanto $\overline{HK} \cong \overline{SP}=6a-2x$ , che sarà la misura del lato del quadrato. Siccome $\overline{SR} \parallel \overline{PQ} \perp \overline{BC}$, anche $\overline{SR} \perp \overline{BC}$, quindi $CHS$ è rettangolo in $H$. Dato che un angolo acuto in $CHS$ è di $45^{\circ}$, l'altro sarà congruente (perché la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre $180^{\circ}$, quindi $180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$), allora $CHS$ è isoscele, quindi $\overline{CH} \cong \overline{SH}=x$. Ricordiamo che $\overline{SR}$ deve misurare $6a-2x$, dato che $\overline{SH}=x$, la parte rimanente $\overline{HR}$ deve misurare $\overline{HR}=6a-2x-x=6a-3x$. Detto $D$ il centro della semicirconferenza di diametro $\overline{BC}=6a$, $\overline{CD}=3a$ è un suo raggio. Possiamo trovare per differenza che $\overline{HD}=\overline{CD}-\overline{CH}=3a-x$. Dato che $\overline{DR}$ è un raggio della semicirconferenza, anche questo segmento misura $3a$. Dal momento che $\overline{PQ} \perp \overline{BC}$, $HRD$ è rettangolo in $H$. Per il teorema di Pitagora:

$(6a-3x)^2+(3a-x)^2=(3a)^2$

Dopo alcuni calcoli l'equazione diventa equivalente a:

$5x^2-21ax+18a^2=0$

Si applica la formula risolutiva:

$x=\dfrac{21a\pm \sqrt{(21a)^2-4\cdot 5 \cdot 18a^2}}{2\cdot 5}=\dfrac{21a \pm 9a}{10}$.

Si ottengono due soluzioni: $x_1=3a$ e $x_2=\dfrac{6}{5}a$. La prima è da scartare, perché se $x_1=3a$ allora il lato del quadrato è $\ell = 6a-2\cdot (3a)=6a-6a=0$, quindi non si forma alcun quadrato. Per la seconda questo non avviene, infatti $\ell = 6a-2\cdot \dfrac{6}{5}a=\dfrac{18}{5}a$.

Abbiamo finito.

Puoi visualizzare la prima soluzione usando questo disegno: