Geometria

PREAMBOLO SUL CALCOLO DELLE AREE DEI POLIGONI REGOLARI

L'area di un esagono regolare è $A=\ell ^2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}$, quella costante apparentemente casuale non è messa lì per confondere gli studenti, è la famosissima costante d'area $\varphi$ dell'esagono, derivare questa costante è un po' complicato, guarda bene il disegno che propongo:

Questo è un esagono, i triangoli che si formano a partire dal centro del pentagono sono triangoli equilateri con lo stesso lato $\ell$, sapendo che l'area di un triangolo equilatero è $A= \ell ^2 \frac{\sqrt{3}}{4}$, basta moltiplicare per $6$ per ottenere la costante d'area dell'esagono, quindi $A_{esagono} = \ell ^2 \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6 = \ell ^2 \frac{3\sqrt{3}}{2}$ (i triangoli sono equilateri perché sono isosceli, i segmenti che hanno come estremi il centro e i vertici del pentagono sono tutti uguali tra loro, quindi anche tutti i triangoli sono uguali tra loro, e allora anche l'angolo al centro di ogni triangolo è uguale, siccome formano l'angolo giro di una circonferenza l'angolo al centro è di $60^{\circ}$, come lo sono gli angoli alla base dato che sono uguali tra loro e la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre $180^{\circ}$, quindi ogni triangolo è equiangolo, ossia equilatero).

L'area di un triangolo equilatero è proprio $A_T= \ell ^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ perché considerando i due triangoli congruenti di lati $\ell,\ \frac{\ell}{2},\ h$, notiamo che sono rettangoli, quindi per il teorema di Pitagora: $h= \sqrt{\ell ^2 - \frac{\ell ^2}{4}}=\sqrt{\ell ^ 2 \frac{3}{4}} = \ell \frac{\sqrt{3}}{2}$, l'area di un triangolo qualunque è $A=\frac{1}{2}bh$, quindi $A= \frac{1}{2} \ell \cdot \ell \frac{\sqrt{3}}{2} = \ell ^2 \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Per le altre figure è più complicato, ad esempio nel pentagono:

I triangoli questa volta non sono equilateri ma sono comunque isosceli, quindi basta trovare l'altezza di ciascun triangolo. La somma degli angoli interni di un poligono regolare è $(n-2) \cdot 180^{\circ}$, dove $n$ è il numero dei lati, quindi ogni angolo interno nel nostro caso misura $108^{\circ}$, gli angoli alla base sono dunque $54^{\circ}$ perché tutti congruenti tra loro. Dalla relazione $\frac{h}{\frac{\ell}{2}} = \tan \alpha$, ricaviamo che $h = \frac{\ell}{2} \cdot \tan \alpha$, nel nostro caso quindi l'area sarebbe $A_{pentagono}=\frac{1}{2} \ell \cdot \frac{\ell}{2} \cdot \tan 54^{\circ} \cdot 5= \frac{5}{4} \ell ^2 \tan 54^{\circ}$

Quindi $\frac{5}{4} \tan 54^{\circ}$, è la costante d'area di un pentagono.

Nel caso dell'esagono, $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$, quindi possiamo vedere allo stesso modo che $\varphi =\frac{1}{4} \cdot 6 \cdot \tan 60^{\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

$\tan$ è la funzione tangente sulla calcolatrice, è una funzione trigonometrica che esprime il rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente ad un angolo in un triangolo rettangolo (nel nostro caso l'altezza del triangolo isoscele e la metà della base) non mi sembra necessario approfondirla ulteriormente per lo scopo di questo esercizio, però se non dovessi ricordare i numeri fissi di una figura potresti affidare il calcolo alla calcolatrice ammesso che tu faccia questo ragionamento.

RISOLUZIONE DELL'ESERCIZIO

Tornando al calcolo del problema:

L'area dell'esagono più grande è $Ab_1= \ell _1 ^2 \varphi \approx 1039,23cm^2$, per trovare l'area dell'esagono interno dividiamo prima il perimetro per $6$ e troviamo il lato $\ell _2 = \frac{96cm}{6} = 16cm$, allora $Ab_2 = \ell _2 ^2 \varphi  \approx 665,11 cm^2$. Sottraiamo dall'area esterna quella interna per trovare l'area di base della nostra figura (moltiplichiamo poi per $2$), $A_b = 2(Ab_1-Ab_2) \approx 748,24cm^2$. Ora calcoliamo l'area laterale sia all'interno che all'esterno del tubo utilizzando i perimetri dell'esagono, quello interno è dato: $A_{L_1} = p_b h = 96cm \cdot 50cm = 4800cm^2$, mentre la seconda area laterale è $A_{L_2}= \ell_1 \cdot 6 \cdot 50cm = 20cm \cdot 6 \cdot 50cm 6000cm^2$.

Sommiamo tutte le aree trovate finora:

$A_T = A_b + A_{L_1}+A_{L_2} = 748,24cm^2 + 4800cm^2 + 6000cm^2 = 11548,24cm^2$.

area basi Ab = √3*6/2*(20^2-(96/6)^2) = 748,25 cm^2

area laterale Al = 50*6*(20+16) = 10.800,000 cm^2

area totale A = Ab+Al = 10.800,000+748,25 = 11.548,25 cm^2