Geometria

Problema:

Siano $W$ e $U$ sottospazi di $\mathbb{R}^4$.

$W: \{ x_1+x_2+x_3=0=x_2+x_3+x_4$

$U: Span\{ (1,1,1,0), (1,-1,0,0)\}$.

Scrivere l’espressione in coordinate delle due proiezioni, intese come endomorfismi di $\mathbb{R}^4$, rispettivamente: la proiezione su $W$ parallela a $U$ e la proiezione su $U$ parallela a $W$.

Soluzione:

Considera ogni vettore riga come vettore colonna, con $\pi^A_B$ intendo la proiezione parallela ad $A$ su $B$. Dato che il quesito è lungo da scrivere mostro solo la risoluzione per $\pi_W^U(x_1,x_2,x_3, x_4)$, l'altra si svolge allo stesso modo esprimendo $W$ in forma vettoriale e $U$ in forma cartesiana; se hai dubbi fammelo sapere. 

Una proiezione parallela equivale a posizionarsi in un punto arbitrario $x$ dello spazio, puntare la pistola seguendo la direzione di $U$ e sparare $W$, il foro su $W$ è la proiezione $\pi_W^U(x)$.

In geometria si ha quindi $\pi_W^U(x_1, x_2, x_3, x_4)= ((x_1, x_2, x_3, x_4) + Span\{U\} ) \cap W$, ossia ci si posiziona sul punto $x$ si genera la retta con direzione $U$ e si vuole trovare il punto in cui interseca $W$.

$(x_1, x_2, x_3, x_4) + Span\{U\}=(x_1+a+b, x_2+a-b, x_3+a, x_4)$, con $a,b \in \mathbb{R}$.

$(x_1+a+b, x_2+a-b, x_3+a, x_4) \cap W \implies \{ x_1+a+b + x_2+a-b+ x_3+a=0, x_2+a-b+ x_3+a+ x_4=0$

Si risolve il sistema per $a, b$ e si sostituiscono i valori trovati in $π_W^U(x_1, x_2, x_3, x_4)=(x_1+a+b, x_2+a-b, x_3+a, x_4)$.

Lascio a te i conti; spero di essere stata chiara sul concetto.

In verità, ci sarebbe un altro metodo algebrico che in alcuni casi è più rapido, però è meno intuitivo e richiede delle nozioni aggiuntive (spazi quoziente, primo teorema di isomorfismo e somma diretta). Ti lascio un esercizio svolto con tale metodo dal manuale di algebra lineare che ho scritto la scorsa estate (potrebbero esserci errori di conto): 

Purtroppo senza PC mi è difficile rendere pubblica una versione revisionata dato che non ho accesso a LaTeX e per gli emulatori online il file è troppo pesante. (Devo preparare l'esame di MATLAB con MATLAB mobile questa sessione, help!!)