[Risolto] Geometria

Nell'equazione in forma normale standard della generica ellisse Γ non ruotata (con assi di simmetria paralleli agli assi coordinati)
* Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
ci sono quattro parametri: semiassi (a, b) e coordinate del centro C(α, β).
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"fuochi sull'asse x" vuol dire (β = 0) & (a > b > 0)
* Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + (y/b)^2 = 1 & (a > b > 0)
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"passante per il punto P(2,1)" vuol dire (((2 - α)/a)^2 + (1/b)^2 = 1) & (a > b > 0) ≡
≡ (b = a/√(a^2 - (α - 2)^2)) & (a > √((α - 2)^2 + 1) >= 1)
* Γ ≡ (((x - α)/a)^2 + (y/(a/√(a^2 - (α - 2)^2)))^2 = 1) & (a > √((α - 2)^2 + 1) >= 1) ≡
≡ (x^2 - a^2 + (a^2 - 4)*y^2 + α*(α - 2*x - (α - 4)*y^2) = 0) & (a > √((α - 2)^2 + 1) >= 1)
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Dalla forma normale canonica di Γ, per sdoppiamento rispetto al polo P(2, 1), si ha la retta polare (tangente in P)
* p ≡ x*2 - a^2 + (a^2 - 4)*y*1 + α*(α - 2*(x + 2)2 - (α - 4)*y*1) = 0 ≡
≡ y = 2*((2*α - 1)/(a^2 - (α - 2)^2))*x + (a^2 - (α - 8)*α)/(a^2 - (α - 2)^2)
di pendenza
* m(α) = 2*(2*α - 1)/(a^2 - (α - 2)^2)
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Affinché p risulti parallela alla bisettrice dei quadranti pari si deve avere
* (2*(2*α - 1)/(a^2 - (α - 2)^2) = - 1) & (a > √((α - 2)^2 + 1)) ≡
≡ (a = √(α^2 - 8*α + 6)) & (α < 1/4)
da cui il fascio d'ellissi
* Γ(α) ≡ (((x - α)/√(α^2 - 8*α + 6))^2 + (y/(√(α^2 - 8*α + 6)/√(2 - 4*α))^2 = 1)) & (α < 1/4)
e il fascio di tangenti
* t(α) ≡ y = 3/(1 - 2*α) - x
parametrizzati dall'ascissa del centro.

Si può fare usando la regola di khiften