Si consideri la funzione:
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
-1+\arctan x & x<0 \\
a x+b & x \geq 0
\end{array}\right.
$$
Determinare per quali valori dei parametri reali $a, b$ la funzione è derivabile. Stabilire se esiste un intervallo di $R$ in cui la funzione $f$ soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle. Motivare la risposta.
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Livello 0
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Livello 2
Quali sarebbe l'intervallo alla fine?
Ciao. La funzione definita a tratti:
y=
{-1 + ATAN(x) per x<0
{a·x + b per x ≥ 0
Per l'applicazione del teorema di Rolle (caso particolare del teorema di Lagrange deve essere tale per cui: " se la funzione è definita e continua e derivabile in un intervallo chiuso e limitato in cui nei due estremi assume lo stesso valore, allora esiste almeno un punto in cui la sua derivata è nulla"
E' facile vedere in questo caso, che si può realizzare la continuità e la derivabilità in ogni suo punto e quindi anche nel suo punto critico x=0, ma non è possibile nel suo C.E. determinare alcun intervallo chiuso e limitato per cui la funzione assume lo stesso valore ai due estremi. Quindi non è applicabile il teorema suddetto.
Caratteristiche della prima componente:
sempre crescente nel suo intervallo di competenza , continua e derivabile con asintoto orizzontale:
y = - pi/2 - 1
LIM(-1 + ATAN(x)= - pi/2 - 1
x----> -∞
La seconda componente è lineare e crescente, facilmente determinabile: y=x-1
(a=1 e b=-1)
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Genius III
