FUNZIONI

Problema:

Considera la funzione $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ , definita ponendo $f(n)=2^n \ \ \forall n \in \mathbb{N}$ . Siano $n,m \in \mathbb{N}$, verifica che:

(a) $f(n+m)=f(n)f(m)$;

(b) $f(n-m)=\frac{f(n)}{f(m)}$;

(c) $[f(n)]^m=[f(m)]^n$.

La funzione $f$ è iniettiva? Motiva la risposta.

Soluzione:

Per risolvere questa tipologia di quesito quando si ha una funzione ben definita basta risolvere le equazioni date utilizzando la definizione della funzione. In questo caso basta conoscere le proprietà delle potenze.

(a) $f(n+m)=2^{n+m}=2^n \times 2^m=f(n) \times f(m)$;

(b) $f(n-m)=2^{n-m}=\frac{2^n}{2^m}=\frac{f(n)}{f(m)}$;

(c) $[f(n)]^m=[2^n]^m=2^{n\times m}=(2^m)^n=[f(m)]^n$, qui è stata utilizzata la commutatività della moltiplicazione ( 5*3=3*5 ), la quale vale nei numeri naturali; ho posto l'accento su questo fatto perché non è detto che la commutatività sia sempre presente negli insiemi considerati.

Come hai notato per questi esercizi basta solo sostituire ed utilizzare delle proprietà, quindi se hai dei dubbi su questa parte rivedi le proprietà delle potenze nello specifico.

Per lo studio dell'iniettività della funzione la faccenda si fa leggermente più complicata a seconda del programma svolto. In ogni caso la definizione di iniettività è che ad ogni elemento del dominio corrisponde uno ed un solo elemento del codominio, ossia Giovanni può avere un solo gelato e non due o più contemporaneamente. 

In matematichese ciò si esprime come $f(x_1)=f(x_2) \implies x_1 = x_2 \ \ \forall x_1,x_2 \in D_f$.

Come al solito si sostituisce:

$2^{x_1}=2^{x_2}$, poiché le basi sono medesime si ha necessariamente che $x_1=x_2$, quindi la funzione è iniettiva.

Se hai dubbi o perplessità chiedi pure, queste cose purtroppo/per fortuna appariranno spesso in futuro quindi è meglio comprenderle bene sin da subito. 😉