Caro Mattia (molto più bello di Mattew!), anzitutto benvenuto!
Hai letto il
http://www.sosmatematica.it/regolamento/
del sito? Se no, leggilo: è importante e può esserti utile.
Vengo subito alla tua domanda ("Qualcuno potrebbe togliermi questo dubbio?") in due fasi.
------------------------------
In primo luogo io posso toglierti quasi ogni dubbio d'origine scolastica (dalla grammatica greca a come si deve comportare il preside nello scritinio di fine anno) se appena appena riesco a capire quale sia; purtroppo il periodo "Dove appare + io avrei cancellato la parte sotto l'asse x mentre dove appare - avrei cancellato la parte sopra invece lui ha detto che la funzione esiste solo dove ho evidenziato i + in rosso." non mi aiuta. Però tu hai anche scritto due volte ("ma non capisco", "non riesco a capire") che hai generiche difficoltà nel seguire metodi forse troppo sbrigativi (non è colpa tua, tu sei vittima di un sistema di libri scolastici che tendono a fornire anche ciò che è competenza dell'insegnante; anche il tuo professore, specie se è giovane, è un po' vittima: se trova le cose fatte in un modo sul libro adottato pensa che si debbano fare in quel modo per non provocare sconcerto nelle giovani menti, proteste delle famiglie, richiami dalla presidenza.).
Se ho ben interpretato ciò che scrivi ti serve una procedura DI FIDUCIA per tracciare uno schizzo qualitativo dell'andamento del grafico di una funzione.
------------------------------
La seconda fase è un tentativo di provocare sconcerto nella tua giovane mente sottoponendo alla tua attenzione un metodo che non solo non è sbrigativo, ma anzi è un po' palloso (e può anche usare termini al di fuori del tuo libro di testo: tu frègatene e cèrcali su WikipediA!); però siccome parte da considerazioni elementari e le mette insieme poche per volta non dovrebbe darti difficoltà di comprensione e, una volta compreso, te ne potrai fare un appunto di poche righe da consultare nelle occasioni future.
---------------
A) La considerazione elementare di base è che, per tracciare un grafico, occorre che tutti i suoi punti abbiano coordinate espresse da valori reali, né infiniti né complessi: l'infinito non è un valore, quindi non può essere una coordinata (lunghezza con segno di un segmento); i valori complessi (quelli che servono a fare calcoli con le radici quadrate di valori negativi) neanch'essi possono esprimere la lunghezza di un segmento.
---------------
B) La considerazione che viene subito dopo è quella di porre una netta distinzione fra ciò che è ben definito, ciò che essendo indefinito sarebbe insensato considerare, e ciò che "non c'entra" pur essendo definito perché irrilevante o estraneo per un singolo problema.
---------------
C) La terza e ultima fra le considerazioni di primaria importanza è la doverosa e pignolesca attenzione alla precisione del linguaggio: una frase alla "come va, va!" può causare un equivoco di comprensione dopo due pagine.
---------------
D) Altre considerazioni di minor rilievo, se occorre, le intercalo allo sviluppo del tuo esempio.
==============================
ESEMPIO
Tracciare l'andamento del grafico di
* f(x) = y = ln(x/(x^2 - 1))
------------------------------
In base ad A per poter tracciare un grafico occorre che (x, y) siano entrambi definiti e reali; mentre per x ogni reale è buono, l'esistenza e la realtà di y dipendono dal risultato delle operazioni compiute per produrlo: "x^2" è definito reale per ogni x reale (DROX); "x^2 - 1" è DROX; ma "x/(x^2 - 1)" e "ln(x/(x^2 - 1))", non essendo nemmeno DOX, non possono essere DROX.
---------------
La divisione rappresentata dalla linea di frazione è definita se e solo se il divisore non è zero: ciò comporta risolvere l'equazione "x^2 - 1 = 0" ed escludere dall'insieme dei valori leciti per x le soluzioni "x = ± 1".
Quindi "x/(x^2 - 1)" è definita per ogni x non in {- 1, 1} e, per essi, è reale.
---------------
Per il logaritmo l'esame è a più livelli (in base a B):
* il logaritmo è indefinito se lo è l'argomento, ciò esclude "x = ± 1";
* il logaritmo è indefinito se l'argomento è zero, ciò esclude "x = 0";
* il logaritmo è definito, ma con valori complessi, se l'argomento è negativo: ciò NON ESCLUDE in generale alcun valore di x, ma ne rende irrilevanti ai fini dell'esempio tutti quelli che sono nella soluzione della disequazione
* x/(x^2 - 1) < 0 ≡ (x < - 1) oppure (0 < x < 1)
------------------------------
RIASSUMENDO (in base a C) f(x) ha
* dominio: l'intero insieme dei reali da cui proviene il valore x;
* codominio: l'intero insieme dei complessi su cui può assumere valore y;
* insieme di definizione (il dominio meno gli esclusi): x non in {- 1, 0, 1}, cioè
** (x < - 1) oppure (- 1 < x < 0) oppure (0 < x < 1) oppure (x > 1);
* insieme di definizione reale (si levano anche gl'irrilevanti):
** (- 1 < x < 0) oppure (x > 1).
Il grafico si può tracciare solo per x nell'insieme di definizione reale.
==============================
RICHIESTA PERSONALE
Se in tutte queste chiacchiere hai trovato qualcosa di utile a dissipare il tuo dubbio originario, mi fai la cortesia di farmelo sapere? Basta che scrivi sotto questa risposta un piccolo commento con "@exProf" da qualche parte in modo che me ne giunga notifica.
