[Risolto] FUNZIONE INVERSA

 $\begin{align} f(x) \colon ℝ^+ &\to ℝ^+\\x &\mapsto \frac{1}{\sqrt{x^2+2x}} \end{align}$ 

La funzione è invertibile se è iniettiva e surgettiva laddove definita.

• E' iniettiva? Per provare l'iniettività occorre dimostrare che presi due generici punti del dominio, tra loro distinti $x_1 \ne x_2$ le due immagini tramite f(x) risulteranno distinte $f(x_1) \ne f(x_2)$. Dimostriamolo per assurdo, supponiamo che esistono due punti distinti aventi la stessa immagine

  $f(x_1) = f(x_2)$ in tal caso

$\frac{1}{\sqrt{x_1^2 + 2x_1}} = \frac{1}{\sqrt{x_2^2 + 2x_2}}$

$(x_1^2 + 2x_1) = (x_2^2 + 2x_2)$

$x_1^2 + 2x_1 - (x_2^2 + 2x_2) = 0 $

trattiamola come una normale equazione di secondo grado in $x_1$

$ x_1 = -1 ± \sqrt (1 + (x_2^2 + 2x_2))$

Sappiamo che le immagini sono tutte positive quindi possiamo scartare la soluzione con il -.

$ x_1 = -1 + \sqrt (x_2 +1)^2)$

$ x_1 = -1 + x_2 +1$

$ x_1 = x_2$

Assurdo. Abbiamo fatto l'ipotesi di punti distinti.

• E' suriettiva?

Il che equivale a dire che l'equazione per ogni $ y \in ℝ^+$ l'equazione

$ y = \frac{1}{\sqrt{x^2+2x}}$

ammette almeno una soluzione reale.

dalla precedente ricaviamo

$x^2+2x-(\frac{1}{y^2}) = 0$

equazione di secondo grado in x, il cui discriminante 

$ Δ = \frac {4(y^2+1)}{y^2}$

è maggiore di zero, quindi l'equazione ammetterà almeno una soluzione reale.

La funzione f(x) è bigettiva in ℝ⁺, quindi ammette inversa.

.

• Inversa.

Per determinare l'inversa applichiamo i 3 passi canonici.

1. Riscriviamo la funzione nella forma $ y = \frac{1}{\sqrt{x^2+2x}}$
2. Scambiamo tra di loro i simboli delle variabili. $ x = \frac{1}{\sqrt{y^2+2y}}$
3. Risolviamo in y.

$ y^2 + 2y - (\frac{1}{x^2}) = 0 $

$ y = -1 ± \sqrt{1+(\frac{1}{x^2})}$

La forma con il meno non è accettabile

$ y = -1 + \frac{\sqrt{x^2 +1}}{x}$

quindi

$f^-1(x) = -1 + \frac{\sqrt{x^2 +1}}{x} \qquad con \, x > 0$