Il grafico della funzione in figura ha equazione
$$
y=e^{a x^2+b x+1}
$$
e $M$ è un punto di massimo.
a. Determina i valori di $a \mathrm{e} b$.
b. Trova le coordinate dei punti di flesso.
a) $a=-2, b=1$; b)
b) $\left.F\left(-\frac{1}{4} ; e^{\frac{5}{8}}\right), F_2\left(\frac{3}{4} ; e^{\frac{5}{8}}\right)\right]$
19
punti
Livello 0
y = e^(a·x^2 + b·x + 1)
{derivata nulla per x=1/4
{passa per [1, 1]
la derivata prima vale:
y' = dy/dx= e^(a·x^2 + b·x + 1)·(2·a·x + b) = 0
per x = 1/4:
e^(a·(1/4)^2 + b·(1/4) + 1)·(2·a·(1/4) + b) = 0
e^(a/16 + b/4 + 1)·(a + 2·b)/2 = 0 (primo fattore sempre positivo)
quindi: a + 2·b = 0
Il passaggio per [1, 1] implica:
1 = e^(a·1^2 + b·1 + 1)----> e^(a + b) = e^(-1)
da cui il sistema:
{a + 2·b = 0
{a + b = -1
che fornisce la soluzione:[a = -2 ∧ b = 1]
quindi la funzione esponenziale è:
y = e^(- 2·x^2 + x + 1)
Quindi:
y'=e^(- 2·x^2 + x + 1)·(1 - 4·x)
y''=e^(- 2·x^2 + x + 1)·(4·x - 1)^2 - 4·e^(- 2·x^2 + x + 1)
Per i flessi si deve porre y''=0
che fornisce soluzione: x = 3/4 ∨ x = - 1/4
78684
punti
Genius II
