Data la funzione $f(x)=\frac{a x}{x^2+2 x+a}$, con $a \in \mathbb{R}-\{0\}$ :
a. determina per quali valori di $a$ la funzione ha come dominio $\mathbb{R}$;
b. determina per quali valori di $a$ la funzione ha come insieme immagine $\mathbb{R}$;
c. stabilisci se esistono valori di a per cui sia il dominio sia l'insieme immagine coincidono con $\mathbb{R}$.
[a) $a>1$; b) $a<0$; c) non esistono]
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Livello 0
a) perché il dominio sia R occorre che il denominatore abbia delta negativo
D = 4 - 4a < 0 => a > 1
b) perché l'immagine sia R occorre che l'equazione
ax/(x^2 + 2x + a) = y
abbia sempre soluzione al variare di y in R
ax = yx^2 + 2xy + ay
yx^2 + (2y - a) x + ay = 0
D = (2y - a)^2 - 4y * ay >= 0
4y^2 - 4ay + a^2 - 4ay^2 >= 0
4(1 - a) y^2 - 4ay + a^2 >= 0 per ogni y
anche qui imponiamo delta negativo per non avere radici
e quindi cambiamenti di segno
16a^2 - 16a^2 (1 - a) < 0
essendo a =/= 0 dividiamo per 16 a^2
1 - 1 + a < 0
a < 0
c) gli intervalli individuati in a) e in b) sono disgiunti
e quindi non esiste alcun a in R per il quale le condizioni indicate
siano verificate entrambe.
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Livello 7
Mi sembra che il problema sia già stato risolto:
https://www.sosmatematica.it/forum/domande/esercizio-su-funzioni-parametriche/#post-159208
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Genius III
