formule goniometriche

In alternativa a @stefanopescetto che saluto.

Se l'angolo fra la retta data y=2x e la generica retta passante per l'origine y = η·x vale pi/4, significa che la retta y=2x è bisettrice di due rette fra loro perpendicolari di cui l'altra sarà y = - 1/η·x

Imponiamo quindi l'equidistanza del punto: [x, 2·x] dalle due rette perpendicolari fra loro:

η·x - y = 0 ed x + η·y = 0

Quindi:

{d = ABS(η·x - 2·x)/√(η^2 + (-1)^2)

{d = ABS(x + 2·η·x)/√(1^2 + η^2)

per confronto:

ABS(η·x - 2·x)/√(η^2 + (-1)^2) = ABS(x + 2·η·x)/√(1^2 + η^2)

elevo al quadrato:

x^2·(η - 2)^2/(η^2 + 1) = x^2·(2·η + 1)^2/(η^2 + 1)

(η - 2)^2 = (2·η + 1)^2

risolvo ed ottengo: η = 1/3 ∨ η = -3

quindi le due rette cercate: y = 1/3·x ed y = - 3·x

-----------------------------------------------------

"rette r e s per l'origine" ≡ di forma y = m*x
"a π/4 con la y = 2*x" ≡ ortogonali fra loro, quindi y = m*x ed y = - x/m
Poiché l'inclinazione è l'arcotangente della pendenza ciò porta a
* |arctg(2) - arctg(m)| = π/4 ≡ m = 1/3
da cui
* r ≡ y = x/3
* s ≡ y = - 3*x
---------------
Le circonferenze tangenti a due rette incidenti sono centrate sulle loro bisettrici; per essere anche centrate su una retta data devono avere per centri le intersezioni.
Le bisettrici di (r, s) sono la y = 2*x e la y = - x/2; la retta data è y = 4. Le intersezioni
* (y = 4) & ((2*x - y)*(- x/2 - y) = 0) ≡ C1(- 8, 4) oppure C2(2, 4)
sono i centri e i raggi sono le loro distanze da (r, s)
* R1 = 2*√10
* R2 = √10
da cui le richieste circonferenze
* Γ ≡ (x + 8)^2 + (y - 4)^2 = (2*√10)^2 ≡ x^2 + y^2 + 16*x - 8*y + 40 = 0
* Γ ≡ (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = (√10)^2 ≡ x^2 - 4*x + y^2 - 8*y + 10 = 0
---------------
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x%2F3-y%29*%28-3*x-y%29%3D0%2C%28%28x--8%29%5E2--%28y-4%29%5E2-40%29*%28%28x-2%29%5E2--%28y-4%29%5E2-10%29%3D0%5D
------------------------------
DETTAGLI
---------------
Da: tg(θ) = |(tg(a) - tg(b))/(1 + tg(a)*tg(b))|
con: (θ = π/4) & (tg(a) = 2) & (tg(b) = m)
si ha: tg(π/4) = 1 = |(2 - m)/(1 + 2*m)| ≡ (m = - 3) oppure (m = 1/3)
---------------
La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = m*x + q è
* d(u, v, m, q) = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
---------------
Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).