Formula di gauss green per l area

Formule alternative per il calcolo dell'area della lente

{x^2 + y^2 - 2·y = 0

{x^2 + y^2 = 1

Risolvo:

[x = √3/2 ∧ y = 1/2, x = - √3/2 ∧ y = 1/2]

B [√3/2, 1/2]

C [- √3/2, 1/2]

Risolvo le due circonferenze rispetto alla y ed ottengo:

y = - √(1 - x^2) ∨ y = √(1 - x^2)

considero: y = √(1 - x^2)

y = 1 - √(1 - x^2) ∨ y = √(1 - x^2) + 1

considero: y = 1 - √(1 - x^2)

Faccio la differenza:

√(1 - x^2) - (1 - √(1 - x^2)) = 2·√(1 - x^2) - 1

e considero l'integrale:

∫(2·√(1 - x^2) - 1) dx = ASIN(x) + x·√(1 - x^2) - x

valutato da x = - √3/2 ad x = √3/2

ASIN(√3/2) + √3/2·√(1 - (√3/2)^2) - √3/2=

=pi/3 - √3/4

ASIN(- √3/2) + (- √3/2)·√(1 - (- √3/2)^2) - (- √3/2)=

=√3/4 - pi/3

Da cui l'area della regione considerata:

pi/3 - √3/4 - (√3/4 - pi/3) = 2·pi/3 - √3/2

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Con Gauss- Green

A=1/2 ∫(x*dy-y*dx)

Bisogna scrivere le equazioni parametriche delle due circonferenze, quindi seguire gli integrali di linea che si vengono a formare (si sommano i risultati dei due integrali)

{x = 1·COS(φ)-----> x'=- SIN(φ)

{y = 1·SIN(φ)----> y'=COS(φ)

x·dy - y·dx = COS(φ)·COS(φ)·dφ - SIN(φ)·(- SIN(φ))·dφ

x·dy - y·dx = dφ

∫(1dφ)= 2·pi/3 valutato da: x = pi/6 a x=5/6·pi

{x = 1·COS(φ)---> x'= - SIN(φ)

{y = 1 - 1·SIN(φ)-----> y'= - COS(φ)

1·COS(φ)·(- COS(φ)) - (1 - 1·SIN(φ))·(- SIN(φ)) = SIN(φ) - 1

∫(SIN(φ) - 1) dφ = 2·pi/3 + √3 valutato da x = 11·pi/6 ad x = 7/6·pi

A =1/2·(2·pi/3 + (2·pi/3 + √3)) = 2·pi/3 + √3/2