Forma trigonometrica di logaritmo

Sarebbe utile del contesto per la corretta interpretazione della richiesta. Se non è ciò che ti aspettavi aggiungi i dettagli mancanti.

Problema:

Scrivere la seguente espressione complessa in forma trigonometrica: $\log ( |z|)$.

Soluzione:

Si considera $z=x+iy=\rho (\cos \alpha +i \sin \alpha)$, ove $i \in \mathbb{C}$ rappresenta l'unità immaginaria.

Sapendo che tramite la norma euclidea $|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\rho$ e che $x=\rho \cos \alpha, y=\rho \sin \alpha$, si ha che $|z|=\sqrt{\rho^2(\cos ^2 \alpha + \sin ^2\alpha)}=\sqrt{\rho^2}=|\rho|=\rho$ dato che per definizione $\rho ≥0$. Vale quindi che $\log |z| =\log \rho=\log \rho (\cos \alpha + i \sin \alpha)$, ove $\alpha=2\mathbb{Z} \pi$.

Arrivati a questo punto è necessario osservare cosa accade al variare di $\rho$, poiché il logaritmo è definito per un argomento positivo si ha necessariamente che $\rho>0$. Quando $\rho \in (0,1] \implies \log \rho \in (-\infty, 0]$, mentre quando $\rho \in (1,+\infty) \implies \log \rho \in (0, +\infty)$.